正整數a,b使ab+1能夠整除a^2+b^2。求證(a^2+b^2)/(ab+1)是完全平方數。

http://www.artofproblemsolving.c ... _Problems/Problem_6

翻了翻以前的筆記，這題好像是某一年的IMO題，

設一組正整數abn滿足a2+b2=nab+1 , 不失一般性，我們可以假設ab.然後對於固定的n, 假設c是所有解ab 中所出現的最小正整數 (存在性由正整數的良序性得到)，則我們有a2+c2=nac+1a2−nca+c2−n=0 , 表示a為二次方程式x2−ncx+c2−n=0 之其中一正整數根。設另一根為d, 則
cdad=c2−nc2, 故dc. 觀察此時d不為正整數，否則會跟c為最小正整數矛盾。由根與係數關係，a+d=ncd=nc−aZ, 故可推得d0.
最後由a+1d+1=ad+a+d+1=c2−n+nc+1=c2+nc−1+11 ,
因為a+11d+10d−1, 故−1d0, 所以d=0, 得到n=c2, 證畢。

除非被雷打到，不然怎麼可能想得到要這樣證?
太強了! 太妙了!
謝謝老師還特別去翻筆記
IMO好像每題都這麼誇張
我是不確定這題的出處
不過真是太佩服命題者了

第一步，假設c是最小正整數.......已經很難想到了
第二步，根與係數.......................更難想到
第三步，由不等式得出d=0..........幾乎是不可能的事
這真是太..................誇張了

真的是很難想到，至少我也想不到XD這證法也是神人的傑作，借花獻佛一下。