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第 5 題
(1)\({{10}^{210}}\)是211位數，\({{10}^{10}}+3\)是11位數
寫成除法直式觀察
可發現要先用\({{10}^{210}}\)的前12位數去除以\({{10}^{10}}+3\)，得商的最高位是9
故\(\frac{{{10}^{210}}}{{{10}^{10}}+3}\)的整數部分是211-11=200位數
(2)
令\(x={{10}^{10}}\)
\(\begin{align}
& \frac{{{10}^{210}}}{{{10}^{10}}+3}=\frac{{{x}^{21}}}{x+3}=\frac{{{x}^{21}}+{{3}^{21}}}{x+3}-\frac{{{3}^{21}}}{x+3} \\
& \frac{{{x}^{21}}+{{3}^{21}}}{x+3}={{x}^{20}}-3{{x}^{19}}+9{{x}^{18}}-\cdots -{{3}^{19}}x+{{3}^{20}}\equiv {{3}^{20}}\equiv 1\ \left( \bmod \ 10 \right) \\
& \frac{{{3}^{21}}}{x+3}=\frac{10460353203}{10000000003} \\
& 1<\frac{{{3}^{21}}}{x+3}<2 \\
\end{align}\)
故\(\frac{{{10}^{210}}}{{{10}^{10}}+3}\)的個位數的數字是9
