n! 可表示為 (n−3) 個連續正整數的乘積:
n! = 1*2*3*4...*n
P = 4*...*n
我以這個 P 為起點 (此時 P < n!)，將 P 的成員依序往右"滑動" 1 格 (則 P 依序變大)，若滑到某處可滿足 P = n!，就找到了一個 n 的解。
我用這個思維，考慮:
A. n之最大值為?
B. 所有可能的 n 值為?
A.
P 的成員往右滑動 1 格後，成為 5*...*(n+1)，與 n! 比較，知取 (n+1) = 4! 即可使 P = n!，即 n = 23，則 23! = 5*6*7*...*24 符合所求。
現證明 n = 23 為最大值，考慮 n > 23:
n! = 1*2*3*4...*n
P = 4*...*n (此時 P < n!)
P 的成員往右滑動 1 格後，成為 5*...*(n+1)，因(n+1) > 4!，故 P > n!，再往右滑當然亦是 P > n!。
因此，n = 23為 n 之最大值。
B.
由以上思維可以發現，欲使 n! 可表示為 (n−3) 個連續正整數的乘積，必要條件是在比 n 大的正整數中，找到連續 k 個，其乘積 = (3+k)! 。而若找到時，把這連續 k 個正整數乘積與(3+k)! 補上公共部分 (公共部分也可以是空集合，即"不補")，就得到符合所求的 n。因此，"在比 n 大的正整數中，找到連續 k 個，使其乘積 = (3+k)! "，就成了求 n 的充要條件。
B-1
考慮 k = 1，得 4! = 24 (連續"1個"正整數 = 24)。
補上 4! 與 24 間的公共部分，得 23! = 5*6*7*...*24 ，則 n = 23。
若不補，即保持 4! = 24 ，假定題目的"連續"意指"至少2個"，則 n = 4 不合。
B-2
考慮 k = 2，即 5! = m*(m+1)，由 5! = 10*12，易知 m 無正整數解。
B-3
考慮 k = 3，即 6! = m*(m+1)*(m+2)，不難得出 6! = 8*9*10。
補上 6! 與 8*9*10 間的公共部分，得 7! = 7*8*9*10，則 n = 7。
若不補，即保持 6! = 8*9*10，則 n = 6。
B-4
以下證明 k > 3 則無解。由 6! = 8*9*10，則:
易知 7! < 8*9*10*11，所以 k = 4 無解。
易知 8! < 8*9*10*11*12，所以 k = 5 無解。
以下類推(更大的 k 情形皆可由 6! = 8*9*10 延長衍生，繼而看出必然"左<右")，固然可用數學歸納法證明，但應該很好理解體會，不再贅述。
綜合以上，符合題意的 n 恰有三個: n= 6，7，或 23。
