已知n!可被表示為(n−3)個連續正整數的乘積，則n之最大值為________。

n! = 1 * 2 * 3 * 4 * ... * n 要表為 (n − 3) 個連續正整數的乘積

把 1 * 2 * 3 * 4 移到最後變成 n! = 5 * 6 * ... * n * 24
這樣的話，n = 23
23! = 24!/4!
23! 可表為 20 個連續正整數的乘積

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-30 02:18 PM 編輯 ]

同理，若將前面x個整數移到後面，
即(x+1)(x+2)(x+3)...(n)x!=n!
所以x一定要滿足等式x!-x=n-3，又n=x!-1
整理得x!-x=x!-4
故x=4
代入得n=23

但為何一定要將前面的移到後面?

例如n=4時，便不符合上述情況
帶入上式得x!=5，雖然4比23小，
但更大的數會不會有類似情況發生?

引用:

原帖由 tsyr 於 2014-6-30 03:20 PM 發表
但為何一定要將前面的移到後面? ...

把後面比較大的數移到前面，就不符合連續整數囉

至於 n = 4 時
4! 要表為 4 - 3 = 1 個連續整數的乘積，只有 1 個，應該不能叫連續
當然不合

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-7-1 02:30 PM 編輯 ]

這麼說也對
謝謝幫忙

如果題目的"連續"意指"至少2個"，則本題 n 恰有3組解:


n= 6，7，或 23


說明:


6! = 8*9*10


7! = 7*8*9*10


23! = 5*6*7*...*24

奇怪!怎麼又有一組了?
該不會有更多吧?

我想"恰有3組" (4! = 24 不算)，不會更多。

我發現前面的推論好像有漏洞
因為前面拿掉的x個數不一定要放在最後一項
可以分散開來
就像
7! = 7*8*9*10
前面拿掉的6!不集中在10這最後一項
所以同樣的，我們也沒有"把後面比較大的數移到前面"
也符合連續整數的規定
如果真的只有三組
也只能再另想辦法證明不可能第四組出現