實數a、b、c、d滿足b-d≥5，且方程式x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0有四個實根x_1、x_2、x_3、x_4，試求(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)之最小值。

請問答案是16嗎?

是的!沒有錯!
怎麼做?

謝謝老師!

謝謝鋼琴老師提供解答! 個人悟性較差，有一處想不明白，還請高明指導:


鋼琴老師解答依據之柯西不等式，右式為變數型態，則等號成立之時，何以得知其為最小值?


例如本題最小值為四個實根同為 1 (或同為 -1)之時。現我假定另有4個不全相等之正實數 p,q,r,s，滿足 pq+pr+ps+qr+qs+rs - pqrs ≥ 5 (從而可作為原方程式之四個實根) 且 pqrs <1。現我將  p,q,r,s 套用入鋼琴老師解答依據之柯西不等式，則因 p,q,r,s 不全相等，故等號不成立，但此時右式亦 < 16，則此 p,q,r,s 所構成之左式 (即"目標函數")，如何得知必 ≥ 16?  又如果反駁我舉的這種情形，說此時可以用 p,q,r,s 之幾何平均數來取代 p,q,r,s 為"新的"四根可使左式進一步變小(因此時右式不變，而等號可成立)，但如此一來可能無法滿足 b-d ≥ 5 之條件(尤其是當我取的 p,q,r,s，滿足 pq+pr+ps+qr+qs+rs - pqrs = 5 時)。


我相信答案是對的，但鋼琴老師的解法邏輯上我想不懂，懇請指導為感!

注意 \( x^2 + 1 = (x+i)(x-i) = (i-x)(-i-x) \)

故目標式可改寫為 \( \begin{aligned}\prod(i-x_{i})\prod(-i-x_{i}) & =(1-ai-b+ci+d)(1+ai-b-ci+d)\\
& =(1-b+d)^{2}+(c-a)^{2}\\
& \geq(1-5)^{2}+0^{2}=16
\end{aligned} \)

當 \( a = c \) 且 \( b - d =5 \) 時，等式成立，達最小值 16 (還有四實根還沒驗)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-28 06:37 PM 編輯 ]

我發現了!
當時我在做也是採用tsusy的方法，
結果我的眼睛真是夠大顆的!!
竟然將(-i)^4寫成-1!!
所以根據(1-ai-b+ci+d)(-1+ai-b-ci+d)就無法配出下面的式子了!
不過下一個式子也蠻有技巧的不容易想得到
謝謝老師

[ 本帖最後由 tsyr 於 2014-6-28 08:07 PM 編輯 ]

共軛複數的乘法，\( z \bar{z} = |z|^2 \)

Sorry，那樣寫的確有問題，先刪去

鋼琴兄，你刪了，就沒人驗我的等號了...

至少你那篇驗了可以等於 16 的事，可以把這件事補回來嗎？