\({{(a-1)}^{12}}+7{{(a-1)}^{11}}+1=0\)之十二個根的乘積=1-7+1=-5

\(\begin{align}
  & {{\left( \sqrt[3]{b-1} \right)}^{12}}+7{{\left( \sqrt[3]{b-1} \right)}^{11}}+1=0 \\
& {{\left[ {{\left( b-1 \right)}^{4}}+1 \right]}^{3}}={{\left[ -7{{\left( \sqrt[3]{b-1} \right)}^{11}} \right]}^{3}} \\
& {{\left( b-1 \right)}^{12}}+3{{\left( b-1 \right)}^{8}}+3{{\left( b-1 \right)}^{4}}+1+343{{\left( b-1 \right)}^{11}}=0 \\
\end{align}\)
之十二個根的乘積=1+3+3+1-343=-335

計算3
請問一定要把(3)~(5)合併成a_(n+1)嗎?不能將(2)~(4)合併成a_(n+1)嗎?
這樣也符合第2位有三個黨阿?謝謝~
(1) 親XXXXX (XXX只是表示後面有n+1位) 此時方法數 a_(n+1)
(2) 國(親)XXXX
(3) 國(國)XXX
(4) 民(民)XXX
(5) 民親XXX ： (後面有n位，第2位有親民黨隔開) 後面n個方法數即 a_n

[ 本帖最後由 marina90 於 2014-5-18 01:01 PM 編輯 ]

計算3 中，國、民對稱，可互換，所以 (2~4) 合併也可以

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-20 01:28 PM 編輯 ]

這題是三角函數的化簡名題，我記得(應該說是看過XD我自己是想不到)
的作法應該就是wrty2451兄的做法：

\(\cos \left( 36{}^\circ  \right)=\cos \left( 30{}^\circ +6{}^\circ  \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left( 6{}^\circ  \right)-\frac{1}{2}\sin \left( 6{}^\circ  \right)=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\)
\(\cos \left( 72{}^\circ  \right)=\cos \left( 60{}^\circ +12{}^\circ  \right)=\frac{1}{2}\cos \left( 12{}^\circ  \right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \left( 12{}^\circ  \right)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)
兩式相減得到
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\left( \cos \left( 6{}^\circ  \right)+\sin \left( 12{}^\circ  \right) \right)-\frac{1}{2}\left( \sin \left( 6{}^\circ  \right)+\cos \left( 12{}^\circ  \right) \right)=\frac{1}{2}\), 移項即為所求。


只是不知道有沒有更殺的方式?

計算1:另解
令f(x)=x^12+7x^11+1-----------(*1)
先將(x²-x+1)乘以(x+1)
令(x+1)(x²-x+1)=0 ,x^3= -1-------------(*2)
假設w=(1+√3i)/2 , -w²=(1-√3i)/2 為(*2)兩根
將x^3= -1代入(*1)  , (x^3)^4 + 7*(x^3)^3*x²+1
化簡得2-7x²
所求=(2-7w²)[2-7(-w²)²]=(2-7w²)(2+7w)
=4+14(-w²+w)-49w^3   (w²-w+1=0 , -w²+w=1)
=4+14+49=67

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 10:09 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-5-18 01:29 PM 發表
這題是三角函數的化簡名題，我記得(應該說是看過XD我自己是想不到)
的作法應該就是wrty2451兄的做法：

\(\cos \left( 36{}^\circ  \right)=\cos \left( 30{}^\circ +6{}^\circ  \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left(  ...

若只考cos36-cos72=?   可用和差化積 (以下"度"省略)
cos36-cos72
=2sin18*sin54=2sin18*cos18*cos36/cos18
=2sin36*cos36/ (2cos18)= sin72 / (2sin72)
=1/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 10:31 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-11 08:15 PM 發表
計算5. 這題之前被學生問過，是 2014amc12#23

最短循環節長度為 \( n \) 的話，應該寫作 \( 0.\overline{a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_1a_0} \)

不想做除法的話，計算 \( n \) 可以用擴分的方式 \( 99^2 \times A = 99\ldots ...

請問：為什麼會有99個1啊？

計算5. 補充說明：其是只是簡單的餘數問題

\( 111111111 \)：連續 1 ，被 9 整除者，最少是 9 個 1

\( 01010101...01  \)：同理，有 \( n \) 個 01，會有 \( 010101...01 \equiv n \) (Mod 99)

所以最少要 \( 99 \) 個 01

引用:

原帖由 wrty2451 於 2014-5-17 11:00 PM 發表
原式=(sin^2 6度+cos^2 6度+sin 6度-cos^2 6度+sin^2 6度) / (cos6度+2sin6度cos6度)
        =(2sin^2 6度+sin 6度) / ( cos6度(1+2sin6度) )
        =2sin6度/cos6度
        =2tan6度

wrty2451兄您好:
答案不是2tan6度
分子部分化簡有問題

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-20 12:48 PM 發表
計算5. 補充說明：其是只是簡單的餘數問題

\( 111111111 \)：連續 1 ，被 9 整除者，最少是 9 個 1

\( 01010101...01  \)：同理，有 \( n \) 個 01，會有 \( 010101...01 \equiv n \) (Mod 99)

所以最少要 \( 99 \) 個 01 ...

請問寸絲老師!
關於 99A=1010....101  ，代表最少會有 99個01，那也可能會是198，297...等等99的倍數個01，
那要如何確定一定會是99個01呢!有沒有可能99不合，符合的是198個01呢!?