引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-4-30 10:19 PM 發表

#4
等式後面抄錯了?

應是 x^2014 + (2x - 1)^2014 = 0

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-30 10:21 PM 發表

應是 x^2014 + (2x - 1)^2014 = 0

這題好像在哪看過?
有人記得出處?

..............想不到...可否再多點提示....^^"

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-4-30 10:16 PM 發表
第 4 題
(2x - 1)/x = 2 - 1/x 是 -1 的 2014 次方根
......
答案是 5035

第4題已知 \(x^{2014}+(2x-1)^{2014}=0 \), 的根為 \( x,\overline{x_i},i=1..1007\)求
$$\sum_{i=1}^{1007}\frac{1}{|x_i|^2} $$之值
應是出自1994AIME 的第13題
https://www.artofproblemsolving. ... Problems/Problem_13
\(x^{10}+(13x-1)^{10} =0\)的10個複數根  \(\gamma_i,\overline{\gamma_i},  i=1..5 \)求
$$ \frac{1}{\gamma_1 \overline{\gamma_1 }}+\frac{1}{\gamma_2 \overline{\gamma_2 }}+\frac{1}{\gamma_3 \overline{\gamma_3 }}+\frac{1}{\gamma_4 \overline{\gamma_4 }}+\frac{1}{\gamma_5 \overline{\gamma_5 }}$$的值

[ 本帖最後由 荷荷葩 於 2014-5-1 09:40 AM 編輯 ]

引用:

原帖由 荷荷葩 於 2014-5-1 09:24 AM 發表
第4題已知 \(x^{2014}+(2x-1)^{2014}=0 \), 的根為 \( x,\overline{x_i},i=1..1007\)求
$$\sum_{i=1}^{1007}\frac{1}{|x_i|^2} $$之值
應是出自1994AIME 的第13題
https://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.p ...

原來如此,感謝您~
難怪覺得很熟悉~

1.空間中A(7,6,3)B(5,-1,2),直線 L: (x-1)/2=y/1=(z-3)/-2 ，P在L 上求AP+BP最小值
3. f(x)=x^18+5x^11+1

提供一下我算的，有錯請指正，謝謝
第1題：3根號10
第3題：19

16樓的J大,請問您的第三題怎麼算的呢??
可以分享一下嗎??謝謝!

Let \( x^2+x+1=0 \)之兩根為\( \omega \),\( \omega^2 \)
\( \omega=cos120^o+isin120^o \)
∴\( x^2+x+1=(x-\omega)(x-\omega^2) \)
所求\( =(x_1-\omega)(x_2-\omega)\ldots (x_{18}-\omega)(x_1-\omega^2)(x_2-\omega^2)\ldots(x_{18}-\omega^2) \)
又\( x^{18}+5x^{11}+1=(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_{18}) \)
∴所求\( =(\omega-x_1)(\omega-x_2)\ldots(\omega-x_{18})(\omega^2-x_1)(\omega^2-x_2)\ldots(\omega^2-x_{18}) \)
\( =(\omega^{18}+5\omega^{11}+1)(\omega^{36}+5\omega^{22}+1) \)
\( =(1+5\omega^2+1)(1+5\omega+1) \)
\( =(2+5\omega^2)(2+5\omega) \)
\( =4+25\omega^3+10(\omega+\omega^2) \)
\( =4+25-10 \)
\( =19 \)

請教一下第二題
是直接用積分測試法證明就好嗎？
因為感覺很簡短
還是有別的方法呢？
謝謝

計算2. 另證. 當 \( 2^{k} < n \leq 2^{k+1} \) 時 \( \frac{1}{n} \geq \frac{1}{2^{k+1}} \)

而級數 \( 1 + \frac12 + \frac14 + \frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac18 + \frac18 + \ldots\)

計算其前 \( 2^k \) 項之和為 \( 1 + \frac k2 \)，故此級數發散

由比較審斂知，\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac1n \) 亦發散