謝謝瑋岳老師解答,   能否冒昧再請教3個題目,感恩!!

103.3.20將題目重新輸入
1.設f(a)=g(a)=1，f(a)=g(a)=2，則limh0h1f(a+2h)g(a+3h)−f(a)g(a)= ？

2.兩曲線y=x3−3x與y=x3−3x+32，則求其公切線方程式？

3.過曲線y=x3上一點P有兩條切線，它們分別交x軸於A與B點，若令銳角∠APB=，則tan的最大值？此時x=？

第 2 題解答請見下面連結：（一模一樣的題目，以前已經被問過兩次了）

https://math.pro/db/thread-1561-1-1.html

第 1 題題目：設 f(a)=g(a)=1 且 f(a)=g(a)=2，則 limh0h1f(a+2h)g(a+3h)−f(a)g(a)= ？

解答：

limh0h1f(a+2h)g(a+3h)−f(a)g(a)=limh0h1f(a+2h)g(a+3h)−11 

　　　　　　=limh0h1g(a+3h)f(a+2h)−g(a+3h) 

　　　　　　=limh0h1g(a+3h)f(a+2h)−1−g(a+3h)−1 

　　　　　　=limh0hf(a+2h)−1−hg(a+3h)−11g(a+3h) 

　　　　　　=limh022hf(a+2h)−f(a)−33hg(a+3h)−g(a)1g(a+3h) 

　　　　　　=2f(a)−3g(a)1g(a) 

　　　　　　=−2

第 3 題題目：過曲線 y=x3 上一點 P 有兩條切線，它們分別交 x 軸於 A 與 B 點，若令銳角 APB= ，則 tan 的最大值？此時 x=？

思考：題目說「過曲線 y=x3 上一點 P 有兩條切線」.....

咦.... 我有看沒有懂。過曲線 y=x3 上一點 P 的切線不是應該只有一條嗎？是我疏忽了什麼嗎？

第3題：(另一條切線應該與 y=x3 有兩個交點)

設 P(tt3)，過 P之切線為 y=m(x−t)+t3 〈由一階導函數可知斜率 m 必有一解為 m=3t2〉

欲求另一條切線的斜率，即考慮方程式：m(x−t)+t3=x3   x3−mx−t3+mt=0

因為相切，故上方程式有重實根，故判別式 D=−4(−m)3−27(t3−mt)2=0

整理判別式 4m3−27t2m2+54t4m−27t6=0

因式分解〈已知有一解為 m=3t2〉(m−3t2)(m−3t2)(4m−3t2)=0

可知另一條過 P 之切線斜率為 m=43t2

則目標 tan=3t2−43t21+3t243t2=9t29t4+4=99t2+4t2912=43 (最大值)

最後一個不等式可由算幾不等式而得，此時 9t2=4t2t=32 

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2014-3-19 01:25 PM 編輯 ]

原來題目的「過曲線 y=x3 上一點 P 有兩條切線」，

有一條是以其他點為切點的切線，那條切線雖然也通過 P ，但卻不是以 P 為切點。

真的是我疏忽了。感謝。 ^____^

引用:

原帖由 Pacers31 於 2014-3-19 01:06 PM 發表
第3題：(另一條切線應該與 y=x3 有兩個交點)

設 P(tt3)，過 P之切線為 y=m(x−t)+t3 〈由一階導函數可知斜率 m 必有一解為 m=3t2〉

欲求另一條切線的斜率，即考慮方程式：m(x−t)+t3=x3  ...

不好意思,請教老師,下面這個可否告知
求另一斜率,X^3-mx-t^2+mt=0, 相切,判別式D=-4(-m)^3-....,這個公式是怎麼求的?

謝謝

直線 y=m(x−t)+t3 與函數 y=x3 相切

表示方程式 m(x−t)+t3=x3 有重實根，整理得 x3−mx−t3+mt=0 有重實根

而實係數三次函數 f(x)=x3+qx−r=0 (缺 x2 項)之判別式為 D=-4q^3-27r^2  (我喜歡這個版本^^)

若 D>0，則有三相異實根

若 D=0，則必含有重實根 (所有根皆為實根)

若 D<0，則為一實根二虛根(共軛)

證明過程其實就是和平常利用一階導函數 f'(x)=3x^2+q=0 的兩個根來說明 f(x)=0 的根之情形一樣

詳細可參考 徐氏選修數學(II) 2-3三次函數的圖形 最後一題範例

(這題一定還有其他作法的，用判別式不見得是最快解法，我再想想... )

謝謝老師講解