有高手可以直接證明嗎?(我繞圈了)

13.
感覺我的方法繞圈了，歡迎高手不吝指教
\(n(1+x)^{n-1}=C_1^n+2C_2^nx+3C_3^nx^2+\ldots+nC_n^nx^{n-1}\)(取\(x=1\)可得已知的式子)
乘\(x \Rightarrow n(1+x)^{n-1}x=C_1^nx+2C_2^nx^2+3C_3^nx^3+\ldots+nC_n^nx^n\)
微分\(\Rightarrow n(n-1)(1+x)^{n-2}x+n(1+x)^{n-1}=C_1^n+2^2C_2^nx^1+3^2C_2^nx^2+\ldots+n^2C_n^nx^{n-1}\)
取\(x=1\)得證

https://math.pro/db/thread-62-1-4.html

13 題. 我也來個無視題目的另證

令 \( X\sim\text{Bin}(n,\frac{1}{2}) \)，則所求 \( =2^{n} \cdot EX^{2} =2^{n}\cdot(\mbox{Var}\, X+(EX)^{2})=2^{n}\cdot(\frac{n}{4}+(\frac{n}{2})^{2}) = n(n+1)2^{n-2} \)。

順帶補幾個類似題：

(100中壢高中) 試求 \( \sum\limits _{k=3}^{18}k^{2}C_{3}^{k} \)。
weiye 解題

(100文華高中代理) 試求 \( C_{0}^{21}+\frac{1}{2}C_{1}^{21}+\frac{1}{3}C_{2}^{21}+\frac{1}{4}C_{3}^{21}+\ldots+\frac{1}{22}C_{21}^{21} \)。
weiye 解題

(99高雄市聯招) 試證 \( C_{2}^{2}C_{1}^{n}+C_{2}^{3}C_{2}^{n}+C_{2}^{4}C_{3}^{n}+\ldots+C_{2}^{n+1}C_{n}^{n}=n(n+3)2^{n-3} \)。
還是 weiye 解題

(99東山高中) 求 \( \sum\limits _{k=0}^{100}\left(x+\frac{k}{100}\right)^{2}C_{k}^{100}x^{k}(1-x)^{100-k} \) 之值。
依舊是 weiye 老師解題

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-6-7 02:05 PM 編輯 ]

請問 3 的答案是\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \)嗎?

引用:

原帖由 martinofncku 於 2013-7-9 12:16 AM 發表
請問 3 的答案是 （根號3）/3 嗎?

是！

不好意思！！想跪求各位老師有無參考正確答案，小弟太弱了，沒有看到答案，心慌慌阿！！

部分答案，如有錯還請修正：
1. (1) 54  (2) \( \frac{22}{45} \) (感謝 thepiano 提醒筆誤)

2. (-2,-1,7) , (-2,6,-4) , (3,-1,-4)

3. \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)

4. \( \frac{1111}{14} \)

5. \( 2\sqrt{6} \)

6. (1) \( \begin{bmatrix}1 & 2\\
1 & -1
\end{bmatrix} \) (2) \( a_1 =3, b_1=-1 \)

7. (1) 3 (2) \( \frac{1\pm\sqrt{5}}{2} , \pm\sqrt{3} \)

8-14 還是自己寫寫或找找吧，這邊只是討論區

如果每個人都怕自己的答案會算錯，不願意分享討論，那這邊就永遠不會有參考答案

論壇裡的每位老師也都會算錯，但不怕錯，因為錯在這，PO出來，有其他老師會幫忙修正

只要拋磚引玉地PO出自己的答案，相信其它人很願意和您互相參考、修正

真有不會的題目，直接PO發問文

然後該對自己有信心一點，數學裡對錯分明，當一名老師更要對自己所傳授的知識有信心，加油 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-11-24 09:07 AM 編輯 ]

寸絲兄 1(2) 有點小筆誤，應是 22/45

對~我傻了，果然常常寫錯，馬上修正

來獻醜跟各位對個答案
9.(1)3*3^0.5/2
    (2)3*3^0.5
11.  5π/12
12.(1)2^0.5/6
      (2)  (8-4*2^0.5)/3
14.(1)y^2=4x
      (2)  4

有錯誤請告知
感謝！