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小 發表於 2021-3-5 23:59 只看該作者
原問題 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3490&page=1#pid22082
使用maxima計算結果如下
設半徑4的球心 A(0 00)，半徑9的球心 B(1300)，半徑16的球心 C −13281348 290
外公切平面方程式為 3029x+271y 13455z+31229=0
和半徑4的球相切於 A −1320−5423929−3292455
和半徑9的球相切於 B13124−8132629−2293455
和半徑16的球相切於 C−1310820083929−3298455
有前一次的經驗後就直接計算各點位置
設半徑4的球心 A(0,0,0)，半徑9的球心 B(13,0,0)，半徑16的球心 C(x,y,0)
\cases{\overline{BC}=25\cr \overline{CA}=20}， \cases{(x-13)^2+(y-0)^2=25^2 \cr (x-0)^2+(y-0)^2=20^2}，
\displaystyle x=-\frac{28}{13},y=\frac{48\sqrt{29}}{13}，得到 \displaystyle C\left(-\frac{28}{13},\frac{48\sqrt{29}}{13},0\right)
設 P(x,y,0)為兩個外公切平面方程式交線上一點
球心 A(0,0,0)半徑4的球面和平面相切於 A'點， \Rightarrow \overline{AA'}=4， ∠PA'A=90^{\circ}
球心 B(13,0,0)半徑9的球面和平面相切於 B'點， \Rightarrow \overline{BB'}=9， ∠PB'B=90^{\circ}
\Delta PAA'和 \Delta PBB'為相似三角形( ∠APA'=∠BPB'， ∠PA'A=∠PB'B=90^{\circ})
\overline{PA}:\overline{PB}=\overline{AA'}:\overline{BB'}=4:9， \overline{PA}:\overline{AB}=4:5
由外分點公式可知 \displaystyle P=\frac{9}{5}A-\frac{4}{5}B=\frac{9}{5}(0,0,0)-\frac{4}{5}(13,0,0)=(-\frac{52}{5},0,0)
得到 \displaystyle P(-\frac{52}{5},0,0)
設 Q(x,y,0)為兩個外公切平面方程式交線上一點
球心 A(0,0,0)半徑4的球面和平面相切於 A'點， \Rightarrow \overline{AA'}=4， ∠PA'A=90^{\circ}
球心 \displaystyle C\left(-\frac{28}{13},\frac{48\sqrt{29}}{13},0\right)半徑16的球面和平面相切於 C'點， \Rightarrow \overline{CC'}=16， ∠PC'C=90^{\circ}
\Delta PAA'和 \Delta PCC'為相似三角形( ∠APA'=∠CPC'， ∠PA'A=∠PC'C=90^{\circ})
\overline{QA}:\overline{QC}=\overline{AA'}:\overline{CC'}=4:16， \overline{QA}:\overline{AC}=1:3
由外分點公式可知 \displaystyle Q=\frac{4}{3}A-\frac{1}{3}C=\frac{4}{3}(0,0,0)-\frac{1}{3}C\left(-\frac{28}{13},\frac{48\sqrt{29}}{13},0\right)=\left(\frac{28}{39},-\frac{16\sqrt{29}}{13},0\right)
得到 \displaystyle Q\left(\frac{28}{39},-\frac{16\sqrt{29}}{13},0\right)
從 \displaystyle P\left(-\frac{52}{5},0,0\right)和 \displaystyle Q\left(\frac{28}{39},-\frac{16\sqrt{29}}{13},0\right)求交線的對稱比例式
方向向量為 \displaystyle \vec{PQ}=\left(\frac{2168}{195},-\frac{16\sqrt{29}}{13},0\right)
PQ直線的對稱比例式為 \displaystyle \frac{x+\frac{52}{5}}{\frac{2168}{195}}=\frac{y-0}{-\frac{16\sqrt{29}}{13}}， z=0
化簡得到 30\sqrt{29}x+271y+312\sqrt{29}=0， z=0
假設外公切平面方程式為 30\sqrt{29}x+271y+312\sqrt{29}+kz=0， k\in R
球心 A(0,0,0)到平面距離 \displaystyle \frac{|\;0+0+0+312\sqrt{29}|\;}{\sqrt{(30\sqrt{29})^2+271^2+k^2}}=4， k=\pm 13\sqrt{455}
得到外公切平面方程式 30\sqrt{29}x+271y\pm 13\sqrt{455}z+312\sqrt{29}=0
利用投影點公式求切點 A',B',C'
投影點公式：
P(x_0,y_0,z_0)對平面 ax+by+cz+d=0的投影點為 P'(x_0-at,y_0-bt,z_0-ct)，其中 \displaystyle t=\frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}
計算 A(0,0,0)的投影點 A'
\displaystyle t=\frac{0+0+0+312\sqrt{29}}{(30\sqrt{29})^2+271^2+(13\sqrt{455})^2}=\frac{2}{39\sqrt{29}}
\displaystyle A'\left(0-30\sqrt{29}\cdot \frac{2}{39\sqrt{29}},0-271\cdot \frac{2}{39\sqrt{29}},0-13\sqrt{455}\cdot \frac{2}{39\sqrt{29}}\right)=
\left(-\frac{30}{13},-\frac{542}{39\sqrt{29}},-\frac{2\sqrt{455}}{3\sqrt{29}}\right)
計算 B(13,0,0)的投影點 B'
\displaystyle t=\frac{30\sqrt{29}\cdot 13+0+0+312\sqrt{29}}{(30\sqrt{29})^2+271^2+(13\sqrt{455})^2}=\frac{3}{26\sqrt{29}}
\displaystyle B'\left(13-30\sqrt{29}\cdot \frac{3}{26\sqrt{29}},0-271\cdot \frac{3}{26\sqrt{29}},0-13\sqrt{455}\cdot \frac{3}{26\sqrt{29}}\right)=
\left(\frac{124}{13},-\frac{813}{26\sqrt{29}},-\frac{3\sqrt{455}}{2\sqrt{29}}\right)
計算 \displaystyle C\left(-\frac{28}{13},\frac{48\sqrt{29}}{13},0\right)的投影點 C'
\displaystyle t=\frac{30\sqrt{29}\cdot (-\frac{28}{13})+271\cdot \frac{48\sqrt{29}}{13}+0+312\sqrt{29}}{(30\sqrt{29})^2+271^2+(13\sqrt{455})^2}=\frac{8}{39\sqrt{29}}
\displaystyle C'\left(-\frac{28}{13}-30\sqrt{29}\cdot \frac{8}{39\sqrt{29}},\frac{48\sqrt{29}}{13}-271\cdot \frac{8}{39\sqrt{29}},0-13\sqrt{455}\cdot \frac{8}{39\sqrt{29}}\right)=
\left(-\frac{108}{13},\frac{2008}{39\sqrt{29}},-\frac{8\sqrt{455}}{3\sqrt{29}}\right)
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