考了十三題計算證明題。。
剛考回來。。提供第一題(這一提到後來考場上有想到，等等把證明貼上來)
隨機變數X服從二項分配(n, p).. 試證明E(X)=np, var(X)=np(1-p)
Pk是投擲成功k次的機率

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2013-5-13 02:14 PM 編輯 ]

感謝提供試題。

隨機變數這題，可以用期望值的性質。即令 \( X_i \)  i.i.d. 的白努力試驗，滿足 \( X_i = 0 \) 或 1，而且 \( P( X_i=1) =p \)

則 \( X_1+X_2+X_3+\ldots+X_n \) 和 \( X \) 有相同之分布，故期望值和變數異皆相相等。

而得 \( E(X) = np \), \( \mbox{Var}(X) = np(1-p) \)

三平面這題

令 \( \vec{n_i} = (a_i,b_i,c_i) \)。若 \( \Delta \neq 0 \) ，則方程式有唯一解，而得三平面交於一點，故 \( \Delta = 0 \)，所以 \( \vec{n_i} \)'s 線性相依。

不失一般性可假設 \( \vec{n_3} = \alpha \vec{n_1} + \beta \vec{n_2} \)

將第三式減法 ( 第一式乘法 \( \alpha \) 及第二式乘上 \( \beta \) ) 可得一新的方程組，記之為

\( \begin{cases}
a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z & =d_{1}\\
a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z & =d_{2}\\
0x+0y+0z & =\gamma
\end{cases} \)，其中 \( \gamma = d_3 - \alpha d_1 - \beta d_2 \)。

由三平面相交之情，得 \( \gamma \neq 0 \) 和 \( \vec{n_1} \times \vec{n_2} \neq \vec{0} \)
(感謝 casanova，指出筆誤，紅字部分已修正之)

注意這樣的消去(列運算，不改變各行列式之值。

故 \( \Delta_x, \Delta_y, \Delta_x = \gamma \vec{n_1} \times \vec{n_2} \neq \vec{0} \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 11:35 PM 編輯 ]

抄在准考證上的，有些條件可能會遺漏

大家參考看看

11.
\( |\; z_1 |\;=|\; z_2 |\;=3 \)，\( |\; z_1-z_2 |\;=3 \sqrt{3} \)，\( log_3 |\; (z_1 \bar{z_2})^{20}-(\bar{z_1} z_2)^{20} |\;= \)？

已知\( Z_1,Z_2 \)均為複數，若\( |\; Z_1 |\;=|\; Z_2 |\;=3 \)，\( |\; Z_1-Z_2 |\;=3 \sqrt{3} \)，則\( log_3 |\; (Z_1 \bar{Z_2})^{20}+(\bar{Z_1}Z_2)^{20} |\; \)之值為多少？
(2008TRML團體賽)


13.
\( x,y,z>0 \)，\( \displaystyle \cases{x^2+xy+\frac{y^2}{3}=17 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=5 \cr z^2+xz+x^2=8} \)，求\( xy+2yz+3xz \)的值。
[提示]
\( \displaystyle x^2+\Bigg(\; \frac{y}{\sqrt{3}} \Bigg)\;^2-2x \Bigg(\; \frac{y}{\sqrt{3}} \Bigg)\; cos150^o=\sqrt{17}^2 \)

\( \displaystyle \Bigg(\; \frac{y}{\sqrt{3}} \Bigg)\;^2+z^2=\sqrt{5}^2 \)

\( \displaystyle z^2+x^2-2xzcos120^o=\sqrt{8}^2 \)

邊長\( \sqrt{17} \)、\( \sqrt{5} \)、\( \sqrt{8} \)的三角形會落在長為4寬為2的長方形中，三角形面積為3
\( \displaystyle \frac{1}{4 \sqrt{3}}\Bigg(\; xy+2yz+3xz \Bigg)\;=\frac{1}{2}x \times \frac{y}{\sqrt{3}}sin150^o+\frac{1}{2}z \times \frac{y}{\sqrt{3}} sin90^o+\frac{1}{2}xzsin120^o \)


正數x,y,z滿足方程組\( \displaystyle \Bigg\{\ \matrix{x^2+xy+\frac{y^2}{3}=25 \cr \frac{y^2}{3}+x^2=9 \cr z^2+xz+x^2=16} \)，求\( xy+2yz+3xz \)的值。
(高中數學競賽教程P261)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1482&page=1#pid7654

112.4.25補充
已知\(x\)、\(y\)、\(z\)為三個實數且滿足\(\cases{x^2+y^2=18 \cr y^2+\sqrt{3}yz+z^2=13\cr x^2+xz+z^2=19}\)，則\(2xy+yz+\sqrt{3}xz=\)　　　。
(112師大附中，https://math.pro/db/thread-3735-1-1.html)


102.5.12補充
4.
三平面兩兩相交一直線，且三直線平行，證明\( \Delta=0 \)，\( \Delta_x,\Delta_y,\Delta_z \)至少有一個不為0


設\( E_1 \)：\( a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \)，\( E_2 \)：\( a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \)，\( E_3 \)：\( a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3 \)為空間中三平面，令
\( \Delta=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & c_1 \cr a_2 & b_2 & c_2 \cr a_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_x=\Bigg\vert\; \matrix{d_1 & a_1 & c_1 \cr d_2 & b_2 & c_2 \cr d_3 & b_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_y=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & d_1 & c_1 \cr a_2 & d_2 & c_2 \cr a_3 & d_3 & c_3} \Bigg\vert\; \)，\( \Delta_z=\Bigg\vert\; \matrix{a_1 & a_1 & d_1 \cr a_2 & b_2 & d_2 \cr a_3 & b_3 & d_3} \Bigg\vert\; \)，
試證：若此三平面相異且相交於一直線，則\( \Delta=\Delta_x=\Delta_y=\Delta_z=0 \)
(97松山家商，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49554 連結已失效)
在網頁最底下有一篇文章可以看，蘇俊鴻　用向量來看平面族定理https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=3#pid4748

這題目在考場，一瞬間沒有想法，就先跳過。等待 bugmens 老師的解答。
第十三題我現場直覺應該是餘弦定理，畫圖去思考，不過時間不夠，就沒有去寫完這題
。好像哪一年的中壢高中考題出過。

寫寫 12 題

\( \frac{\sin 9x}{\sin x}+\frac{\cos 9x}{\cos x} = \frac{2\sin 10x}{\sin 2x}\)。

令 \( t = 2x \)，則上式為 \( \frac{2\sin 5t}{\sin t} \)。

由和角公式、及 \( |\cos x|\leq 1 \) 可遞推得 \( |\sin nt| \leq n |\sin t|, n \in \mathbb{N} \)

故得 \( -10 \leq \frac{2\sin 5t}{\sin t} \leq 10\)，而當 \( t \to 0 \) 時，其值收斂至 10；當 \( t \to \pi \) 其值收斂至 \( -10 \)
(紅字是錯的，下界估錯了，那極限也是正的...)
--------------以下刪除----------------

原本不想用 5 倍的式子，看來失敗了

令 \( y=\sin t \)

則 \( \begin{aligned}\sin5t & =\sin3t\cos2t+\cos3t\sin2t\\
& =(3y-4y^{3})(1-2y^{2})+2y(4\cos^{4}y-3\cos^{2}y)\\
& =(3y-4y^{3})(1-2y^{2})+2t(4(1-y^{2})^{2}-3(1-y^{2}))\\
& =16y^{5}-20y^{3}+5y
\end{aligned} \)

當 \( \sin t\neq0 \)，時 \( \frac{\sin5}{\sin t}=16y^{4}-20y^{2}+5=16(y^{2}-\frac{5}{8})^{2}-\frac{5}{4} \)

而 \( 0 < y^2 \leq 1 \)，故其值域為 \( [-\frac{5}{2}, 10) \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 10:24 PM 編輯 ]

#13  和之前做過的某題很像

第十二題 y=2sin(10x)/sin(2x)，我用GeoGebra畫圖畫出來。值域如圖。

第二題我印象中，一共有六個複數解，在複數平面上，這六個點任意兩點構成的線段長，一共有十五條。就這十五條的平方和

「由三平面相交之情，得 \( d_3 \neq 0 \) 和 \( \vec{n_1} \times \vec{n_2} \neq \vec{0} \)」

\( d_3 \neq 0 \)是否該改成 \( \gamma \neq 0 \)呢？