我發現我哪裡算錯了，謝謝!

如果照您的方式
a(ABP)  的底 為5  高為4才對  所以面積 為10

答案 也是 4:5

想請問填充題第9題如何解?

第 9 題：
若\(a>0,b>0\)，則\(\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}}{\sqrt{a+b+4}}\)的最大值為　　　。
[解答]
已知 \(a>0, b>0\)

由柯西不等式，可得

\(\displaystyle \left(\left(\sqrt{a+1}\right)^2+\left(\sqrt{b+3}\right)^2\right)\left(1^2+1^2\right)\geq\left(1\cdot\sqrt{a+1}+1\cdot\sqrt{b+3}\right)^2\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}\right)^2}{a+b+4}\leq 2\)

　　\(\displaystyle \Rightarrow \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}}{\sqrt{a+b+4}}\leq \sqrt{2}\)

且當等號成立時，\(\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}}{1}=\frac{\sqrt{b+3}}{1}\Leftrightarrow a=b+2\)

令\(a+1=x , b+3=y\)
則原式=\(\displaystyle\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}\)
設\(f(x) = \sqrt x \)
由jensen不等式，對於\(x,y > 0\)
則有\(\displaystyle\sqrt {\frac{{x + y}}{2}}  \ge \frac{1}{2}(\sqrt x  + \sqrt y )\)
即\(\displaystyle\frac{{\sqrt x  + \sqrt y }}{{\sqrt {x + y} }} \le \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \)

被學長搶先了一步
還好方法不一樣

1111.JPG (18.29 KB)

2013-4-20 21:05

謝謝各位大大的解答
我反應真的太慢了
我也解出來了
整份考卷只有第八題算不出來
還是看各位的解答才會的
還好有這網站

可以舉手問第一題嗎？！
想了很久，除了一個一個帶數字外，還有其他辦法嗎？！

第 1 題：
設\(n\)為大於1的正整數，若\(n^2+3n+11\)為兩相鄰正奇數的乘積，則\(n=\)　　　。
[解答]
依題意可令 \(\displaystyle n^2+3n+11 = (2k-1)(2k+1)\)，其中 \(k\) 正整數，

\(\displaystyle \left(n+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{39}{4} = 4k^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(4k\right)^2 - \left(2n+3\right)^2= 39\)

可得 \(\displaystyle \left(4k-2n-3\right)\left(4k+2n+3\right)=39\)

且因為 \(n,k\) 皆為正整數，所以 \(4k+2n+3>4k-2n-3\) 且兩者皆為正整數，

所以

case 1: \(\displaystyle 4k-2n-3=1, 4k+2n+3=39 \Rightarrow k=5, n=8\)

case 2: \(\displaystyle 4k-2n-3=3, 4k+2n+3=13 \Rightarrow k=1, n=1\) （不合）

第九題
若\(a>0,b>0\)，則\(\displaystyle \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}}{\sqrt{a+b+4}}\)的最大值為　　　。
[解答]
提供另一個想法
看成點\((1,1)\)至直線\(\sqrt{a+1}x+\sqrt{b+3}y=0\)上一點的最大值
代 點到直線距離公式即可得所求式子~最大值為\((1,1)\)到\((0,0)\)距離