第 4 題
設\(\vec{a}=(1,5,7),\vec{b}=(3,4,5),\vec{c}=(1,1,1)\)，且\(x,y\)為實數，則\(|\;\vec{a}-x\vec{b}-y\vec{c}|\;\)之最小值為
。
[解答]
（對比上法～這是另解～：Ｐ）：
\(\left|\vec{a}-x\vec{b}-y\vec{c}\right|^2=\left|\vec{a}\right|^2+x^2\left|\vec{b}\right|^2+y^2\left|\vec{c}\right|^2-2x\vec{a}\cdot\vec{b}-2y\vec{a}\cdot\vec{c}+2xy\vec{b}\cdot\vec{c}\)
\(=75+50x^2+3y^2-116x-26y+24xy\)
\(=50x^2-4\left(29-6y\right)x+\left(3y^2-26y+75\right)\)
\(=50\left(x-\frac{29-6y}{25}\right)^2+\left(\frac{3}{25}y^2+\frac{46}{25}y+\frac{193}{25}\right)\)
\(=50\left(x-\frac{29-6y}{25}\right)^2+\frac{3}{25}\left(y+\frac{23}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\)
\(\geq \frac{2}{3}\)
當 \((x,y)=(3,\frac{-23}{3})\) 時，\(\left|\vec{a}-x\vec{b}-y\vec{c}\right|\) 有最小值為 \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
註：也可以令 \(f(x,y)=75+50x^2+3y^2-116x-26y+24xy\) 由 \(\frac{\partial }{\partial x} f(x,y)=0, \frac{\partial }{\partial y} f(x,y)=0\) 解得最小值發生時的 \((x,y)\) 之值。
113.1.30補充
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