填充4.
一位小孩在地面上\(A,B,C,D,E\)等5個點跳動，且每次跳動一定跳至相異於起跳點的位置且每一點機會均等。現在這位小孩在\(A\)點處，若已知這小孩跳動4次後跳在\(A\)點處，求他四次中恰有兩次跳到\(A\)點的機率。
[解答]
x 代表非 a，所求即 \(\displaystyle \frac{xaxa}{xaxa+xxxa} \)
\( \displaystyle P = \frac{4\cdot1\cdot4\cdot1}{4\cdot1\cdot4\cdot1+4\cdot3\cdot3\cdot 1} = \frac{4}{13}\)
填充9.
已知函數\(f(x)=x^3-ax^2+(a^2-1)x\)有極值。設\(I=\{\;x \in R|f'(x)\ge0 \}\;\)，且\(I\)包含區間\( (\; -\infty,0)\; \)與\( (\;1,\infty )\; \)，則實數\(a\)的範圍為
。
[解答]
\( f'(x)=3x^{2}-2ax+a^{2}-1 \) , 兩根 \( 0\leq\alpha<\beta\leq1 \)
(1) \( D\geq0\Rightarrow-\frac{\sqrt{6}}{2}<a<\frac{\sqrt{6}}{2} \)
(2) \( 0\leq\alpha<\beta\Rightarrow2a>0 \) 且 \( a^{2}-1\geq0\Rightarrow a\geq1 \)
(3) 令\( y=x-1 \) , 則 \( y \) 之兩根 \( \alpha'<\beta'\leq0 \)
\( f'(x)=3y^{2}-(2a-6)y+(a^{2}-2a+2)\Rightarrow2a-6<0\) 且 \( a^{2}-2a+2\geq0\Rightarrow a<3 \)
綜合以上得 \( 1\leq a<\frac{\sqrt{6}}{2} \)
