計算證明 2. 來個不高明的數歸納法好了，如果有什麼其它高招，請不吝告訴在下

先分析 m 這個函數。注意 (n+21)2=n2+n+41(n−21)2=n2−n+41。

若 n2−nmn2+nmnN, 則 m=n 注意 (n2−nn2+n]=(0).

以數學歸納法證之：

n=1f(1)=2=1+1, 顯然成立。

設 mk  (k1) 時成立，分成二情況

(情況一)若 k=n2+n, for some nN.

由歸納法假設有 f(k)=(n2+n)+n=n2+2n. 因此下個數 (n+1)2 是完全平方數

故 f(k+1)=f(k)+2=(n2+n+1)+(n+1)=k+1+k+1.

(情況二)若  n2−nkn2+nn2f(k)n2+2n 下一個數 n2f(k)+1(n+1)2 非完全平數

所以 f(k+1)=f(k)+1=k+k+1=(k+1)+k+1。

由數學歸納法得證

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-10-28 11:56 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 shiauy 於 2012-6-26 05:14 PM 發表
計算1
最大周長出現在B在弧AC的中間點，  ...

(1)想請問要如何證明在弧AC的中間點
(2)順便想問填充8
ABC中AB=AC，∠BAC=84，P在其內部∠PBC=12，∠PCB=30，則∠APB=？

填充八
在 PBC 中，PBsin30o=BCsin138o
PB=21BCsin42o=AB
所以
APB=21(180o−(48o−12o))=72o

謝謝，太強了，竟然可以看出來！！！不知還有沒有將圖形旋轉或平移的作法！

[ 本帖最後由 larson 於 2012-7-1 12:01 AM 編輯 ]

a為正無理數，p=a3−a2−13a+6，q=a2−4a均為有理數，則(pqa)=？
[解答]
q+4=(a−2)2⇒a=24+q ，(q>-4)
(1)
當a=2+\sqrt{4+q}，此時p=(2+\sqrt{4+q})^3-(2+\sqrt{4+q})^2-13(2+\sqrt{4+q})+6
整理得p=\sqrt{4+q}(q-1)+(4+5q)，\sqrt{4+q}\in Q^{*} ⇒q=1，p=9，a=2+\sqrt{5}
(2)
當a=2-\sqrt{4+q}，此時p=(2-\sqrt{4+q})^3-(2-\sqrt{4+q})^2-13(2-\sqrt{4+q})+6
整理得p=\sqrt{4+q}(-q+1)+(4+5q)⇒q=1，p=9，a=2-\sqrt{5}<0(不合)
綜合以上：⇒q=1，p=9，a=2+\sqrt{5}

謝謝寸絲的填充6，我可能要好好的練功了！

個人以為，在考場中用三角函數硬作，解出來的機會比較大。
這樣的問題出現很多次了，我上面的作法其實不夠一般，應該要這樣作:
假設(底下都省略度) \displaystyle \angle{PAB}=x


\displaystyle \frac{PA}{PB}=\frac{\sin36}{\sin x}


\displaystyle \frac{PB}{PC}=\frac{\sin30}{\sin12}

\displaystyle \frac{PC}{PA}=\frac{\sin(84-x)}{\sin18}

然後三式相乘得到

\displaystyle \sin36 \sin30 \sin(84-x)=\sin x \sin12 \sin18

然後其實應該先猜答案是多少，當然，畫個近似準確的圖是重要的，這樣才可以猜測。
像這裡先整理最後的式子得到

\displaystyle \cos18 \sin(84-x)=\sin x \sin12

這樣應該不難猜出答案是 72
接著朝目標前進

\displaystyle \sin72 \sin(84-x)=\sin x \sin12

\displaystyle \sin(156-x)+\sin(x-12)=\sin(x+12)+\sin(x-12)

\displaystyle \sin(156-x)=\sin(x+12)

剩下就是判斷哪個才是解了。


順便放上早上頭腦清醒的狀態:

[ 本帖最後由 老王 於 2012-7-1 10:45 AM 編輯 ]

填充題第9題

不知道有沒有什麼提示

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=587

填充題第9題

解，

三白球 → ○○○

三白球形成4個空隙

五黑球放到四個空隙，平均每個空隙有 5/4 顆黑球(空隙中黑球個數的期望值)

→ (5/4個●) ○ (5/4個●) ○ (5/4個●) ○ (5/4個●)

由左到右取球，取到白球取完時，共取了 (1+5/4)*3 = 27/4 顆球

謝謝
我懂了