請教填充1和2
感謝

填充 2
空間中有一長方體，除了頂點\(B(0,0,0)\)在\(xy\)平面上，其餘頂點均在\(xy\)平面的上方，且長\(\overline{DA}=\sqrt{21}\)，寬\(\overline{DC}=\sqrt{6}\)，高\(\overline{DE}=2\sqrt{14}\)．若\(A(-2,-1,1),C(1,2,4)\)，則\(E\)點坐標為　　　。
[解答]
\( \vec{BA}=(-2,-1,1)
, \vec{BC}=(1,2,4)\Rightarrow\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{BC}=(-1,1,5)\Rightarrow D \)  點坐標為 \( (-1,1,5) \) 。

\( \vec{BA}\times\vec{BC}=(-6,9,-3)=-3\cdot(2,-3,1) \) 。而 \( \vec{DE}//\vec{BA}\times\vec{BC} \) ，且 \( \overline{DE}=2\sqrt{14} \)  和 \( \vec{DE}\cdot(0,0,1)\geq0 \) 。

故得 \( \vec{DE}=(4,-6,2) \) ，因此 \( E \)  點坐標為 \( (3,-5,7) \) 。

填充第 1 題：
已知三點\(A(3,0),B(0,3),C(cos \alpha,sin \alpha)\)，且\(\vec{AC}\cdot \vec{BC}=-1\)，則\(\displaystyle \frac{2cos^2 \alpha+sin 2\alpha}{1+cot \alpha}=\)　　　。
[解答]
\(\displaystyle \vec{AC}=\left(\cos\alpha-3,\sin\alpha\right), \vec{BC}=\left(\cos\alpha,\sin\alpha-3\right)\)

由 \(\vec{AC}\cdot\vec{BC}=-1\)，可得 \(\displaystyle \cos\alpha+\sin\alpha=\frac{2}{3}\Rightarrow \cos\alpha\sin\alpha=\frac{-5}{18}\)

所求＝\(\displaystyle \frac{2\cos^2\alpha+\sin2\alpha}{1+\cot\alpha}=\frac{2\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{\displaystyle 1+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{-5}{9}\)

請問老師們 , 填充9如何解 ? 謝謝

版上老師好  中秋連假愉快

第八題小弟算出來的答案是12

可是答案給0,過程,圖片在附件

是不是我誤會所求了?

[ 本帖最後由 anyway13 於 2020-10-3 01:08 編輯 ]

填充8. 沒有看您的算式，但此四點OPQR 共平面，因此A也在此平面上，故體積為0

謝謝寸絲老師回答,想要再追問一下,這是因為O剛好在P,Q,R的平面上

若是今天的O(0,0,0), P(4,2,1),Q(1,-2,3),R(1,2,-1)  (只將P(3,2,1)改成(4,2,1))
其他條件都不變)

那算法是不是如下

S=3(4,2,1)=(12,6,3), T=3(1,-2,3)=(3,-6,9)  , U=3(1,2,-1)=(3,6,-3)
計算STU所形成的平面.所求即是O-STU所形成的四面體體積

不是。你可以先想像降成二維的版本，應該會是平行四邊形

三維的版本，這樣的立體也稱作平行六面體，O-STU 只是其一角 O 與其相鄰的三頂點。

謝謝寸絲老師的指點

將平行六面體投影到xy平面上畫出來真的是平行四邊形(投影到x=0和y=0的平面上也是)

所以,所求應該是(12,6,3) (3,-6,9) (3,6,-3)所圍成的平行六面體體積

ps:若是回到原題,是由(9,6,3), (3,-6,9) , (3,6,-3)所圍成的平行六面體體積
行列式算出來是0

樓主應該是和另外一種題目搞混了
除了原題目的問法外
還有一種是題目敘述不變
條件改成\(0\le \alpha+\beta+\gamma\le 3\)，這才是一個四面體的體積
一樣可以先考慮二維的情形，用類似的想法推到三維