請問各位老師填充第六題怎麼做？感謝

填充1.
取OX=OZ=2 
再將XZ投影在−−OY上，投影點為P
則OP=PZ=PX=1
利用三角形OXZ，以餘弦定理求出XZ=4−22 
再以三角形PZX，以餘弦定理求cos=21+1−(4−22)=−1+2 

填充6.
此題的做法可能不是很正統，假設 x=1 為其根
ax3+bx=−x4−2x2−1代入 x=1，得
a+b=−4
再利用柯西不等式
(a2+b2)(12+12)(a+b)2
a2+b22(−4)2=8

接下來驗證是否無誤，
柯西"=" 成立時，a=b=−2
原式成了 −2x3−2x=−x4−2x2−1，而 x=1確定為其根，
因此答案無誤！

填充6：令x=1代入，請問至少有一實根用在哪？

引用:

原帖由 WAYNE10000 於 2012-6-24 09:27 AM 發表
想請問填充8

上述的解題過程 運用到的數學概念是??

謝謝指教

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2664

學長,可以請教填充第一題嗎  感恩 orz

填充第 1 題：

qq.png (9.54 KB)

2012-7-2 10:00

如圖，自 −−OX 上任取一異於 O 的點 A，

自 A 往 OYZ 平面做垂線，垂足為 B，

自 B 往 −−OY 做垂線，垂足為 C，

延長 BC 交 −−OZ 於 D 點，

由三垂線定理及 ASA 全等性質，易知 AOCDOC（皆為內角 45−45−90 的等腰直角三角形）

得 AC=CD


因為 −−OX−−OY−−OZ 兩兩夾角都相同，

所以 OB 平分 \triangle YOZ，可得 \overline{CB}:\overline{BD}=\overline{OC}:\overline{OD}=1:\sqrt{2}

故，\displaystyle\cos\alpha=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}} =\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.

不好意思，再把填充六提出來討論一下。
關於Katama老師的作法，總覺得太過神奇，不知道有沒有在 FunLearn 那邊討論過呢??

試過幾個作法，總是不得要領，或是覺得作法太複雜，不該是填充題的想法。(只是現在很多填充題也是滿複雜的)
底下寫出我覺得比較能夠接受的作法。

假設四根是 p,q,r,s
由根與係數關係知道
\displaystyle p+q+r+s=-a
\displaystyle pq+pr+ps+qr+qs+rs=2
\displaystyle pqr+pqs+prs+qrs=-b
\displaystyle pqrs=1

\displaystyle a^2+b^2=(p+q+r+s)^2+(pqr+pqs+prs+qrs)^2=p^2+q^2+r^2+s^2+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{q^2}+\frac{1}{r^2}+\frac{1}{s^2}+8

如果 p,q,r,s 都是實數，那麼由算幾不等式得到
\displaystyle a^2+b^2 \ge 16
但是可以檢查出四根不會都相等，所以上式等號不成立。

接著討論四根不是都是實根，再由題目要求至少一實根，所以要討論兩實根兩虛根的情形。
假設 p,q 是實根， r,s 是虛根；
然後我要作一個我自己都覺得奇怪的轉換:
令 p+q=m, pq=n, r+s=h, rs=k
那麼
\displaystyle n+k+mh=2
\displaystyle nk=1
由第二式得到 \displaystyle k=\frac{1}{n}
代入第一式得到 \displaystyle h=\frac{-n^2+2n-1}{mn}
\displaystyle a^2+b^2=8+(1+n^2)[\frac{m^2-4n}{n^2}+\frac{(n-1)^4}{m^2n^2}]
因為 p,q 是實根，所以 m^2-4n \ge 0
因此得到最小值以及最小值發生在 p=q=1 的時候。

第 6 題：

我也提供一個方法好了。

因為 x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0 有實根，

整理成 \left(x^3\right)\cdot a+\left(x\right)\cdot b+\left(x^2+1\right)^2=0 可以視為「以a為橫坐標、以b為縱坐標的直線方程式」



a^2+b^2= 「原點到直線 \displaystyle \left(x^3\right)\cdot a+\left(x\right)\cdot b+\left(x^2+1\right)^2=0 上的任意點 (a,b) 距離」的平方

　　　　\geq 「原點到直線 \displaystyle \left(x^3\right)\cdot a+\left(x\right)\cdot b+\left(x^2+1\right)^2=0 距離」的平方

　　　　\displaystyle =\left(\frac{\left|x^3\cdot 0+x\cdot 0+\left(x^2+1\right)^2\right|}{\sqrt{\left(x^3\right)^2+\left(x\right)^2}}\right)^2

　　　　\displaystyle =\frac{\left(x^2+1\right)^4}{x^2\left(x^4+1\right)}


　　　　（（或是由柯西不等式來推得上面這個式子也可以！是一樣的！

　　　　　　因為 \displaystyle \left(a^2+b^2\right)\left(\left(x^3\right)^2+\left(x\right)^2\right)\geq\left(\left(x^3\right)\cdot a+\left(x\right)\cdot b\right)^2=\left(-\left(x^2+1\right)^2\right)^2

　　　　　））



令 \displaystyle f(x)=\frac{\left(x^2+1\right)^4}{x^2\left(x^4+1\right)}，則 \displaystyle f\,'(x)=\frac{2\left(x^4-1\right)^3}{x^3\left(x^4+1\right)^2}

可知當 x=\pm1 時，f\,'(x)=0，



當 x>1 時，f\,'(x)>0,\, f(x)↗

當 0<x<1 時，f\,'(x)<0,\,  f(x)↘

當 -1<x<0 時，f\,'(x)>0,\,  f(x)↗

當 x<-1 時，f\,'(x)<0,\,  f(x)↘



因此，當 x=\pm1 時，f(x) 有最小值為 f(\pm1)=8

此時，直線方程式為 a+b+4=0或a+b-4=0 ，且原點在此直線上的垂足為 (a,b)=(2,2) 或 (-2,-2).

(承第 6 題) 後半段 \displaystyle a^2+b^2=\frac{\left(x^2+1\right)^4}{x^2\left(x^4+1\right)} 求最小值也可以改用算幾不等式

題述方程式顯然實根 x 非零，

因為 (x^2+1)^2=(x^4+1)+2x^2，

由算幾不等式可得 \displaystyle \frac{(x^4+1)+2x^2}{2}\geq\sqrt{2x^2(x^4+1)}

　　　　　　　　\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(x^2+1)^2}{2}\geq\sqrt{2x^2(x^4+1)}

　　　　　　　　\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(x^2+1)^4}{x^2(x^4+1)}\geq 8

且當等號成立時，\displaystyle x^4+1=2x^2\Leftrightarrow (x^2-1)^2=0\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1

@@感覺有看過...想不來...請幫忙..感恩!.三角形ABC中,AB=2,BC=3,CA=4，設 I 為三角形ABC之內心，直線L通過內心I，與二邊AB和AC分別交於D和E，則三角形ADE最小面積為??