題目：
1. n!展開後末尾有1981個0，則n的最大值為？
2. 4444^4444展開後各位數字和Ａ，Ａ之各位數字和為Ｂ，則Ｂ＝？
3. x,y為自然數，x/y為最簡真分數，x+y=3980之（x,y）有幾組？
4. 5x-y-z=15，x^2+y^2+z^2=1997的所有正整數解。

第 1 題：\(n!\) 展開後末尾有 \(1981\) 個 \(0\)，則 \(n\) 的最大值為？

解答：

因為 \(1\) 至 \(n\) 當中顯然偶數個數會比五的倍數多很多，所以只需考慮 \(n!\) 化為標準分解式之後會有多少個五，

則 \(n!\) 尾端就會有多少個零。

\(5!\) 尾端有 \(1\) 個零，

\((5^2)!\) 尾端有 \(1+5=6\) 個零

\((5^3)!\) 尾端有 \(1+5+5^2=31\) 個零

\((5^4)!\) 尾端有 \(1+5+5^2+5^3=156\) 個零

\((5^5)!\) 尾端有 \(1+5+5^2+5^3+5^4=781\) 個零

\((5^6)!\) 尾端有 \(1+5+5^2+5^3+5^4+5^5=3906\) 個零～哇～

哇勒～爆掉了～得縮小一點才行～

因為 \(1981=2\cdot781+2\cdot156+3\cdot31+2\cdot6+2\cdot1\)

所以來研究一下 \((2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+2\cdot5)!\) 好了～

它的尾端有 \(2\cdot781+2\cdot156+3\cdot31+2\cdot6+2\cdot1=1981\) 個零

而 \((2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+3\cdot5)!\) 就會是尾端有 \(1982\) 個零的數了。

故， \(n\) 可以是  \((2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+2\cdot5)\)

　　　　　　至 \((2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+3\cdot5-1)\) 間的任何一個數都可以，

可得 \(n\) 的最大值為 \(2\cdot5^5+2\cdot5^4+3\cdot5^3+2\cdot5^2+3\cdot5-1=3989\)

第 2 題的題目似乎有誤？應該是要求 B 的各位數字和？（1975年ＩＭＯ考題）



第 2 題：\(4444^{4444}\) 展開後各位數字和Ａ，Ａ之各位數字和為Ｂ，則Ｂ之各位數字和＝？

答案：

因為 \(4444^{4444}<10000^{4444}=10^{22220} \)，

所以 \(4444^{4444}\) 乘開後頂多是 \(22221\) 位數字，所以 \(A\) 必不超過 \(9\cdot22221=199989<199999\)

因此，\(B\) 必不超過 \(1+9+9+9+9+9=46\)，可知 \(B\) 的各位數字和必不超過 \(3+9=12\)

再來考慮 \(4444^{4444}\) 除以 \(9\) 的餘數，

\(4444\equiv7\pmod9\Rightarrow 4444^{4444}\equiv 7^{4444}\pmod9\)

因為 \(gcd(7,9)=1\)，所以 \(7^6\equiv1\pmod{9}\)

　（這裡偷偷用了尤拉推廣費馬小定理的版本　http://zh.wikipedia.org/zh-tw/歐拉定理_(數論)）

且由於 \(4444\equiv4\pmod6\)，所以 \(7^{4444}\equiv 7^4\equiv 7\pmod9\)

因此 \(B\) 的各位數字和除以 \(9\) 的餘數為 \(7\)，且因為 \(B\) 的各位數字和必不超過 \(12\)

故，\(B\) 的各位數字和為 \(7\)。

111.4.24補充
桃園高中80周年慶，師生想利用8個8組成一個校運昌隆數作為紀念，經過討論後決定以\(8888^{8888}\)作為此校運昌隆數。將此校運昌隆數展開後的各位數字和令為\(A\)，再將\(A\)的各位數字和令為\(B\)，求\(B\)的各位數字和為　　　。
(111桃園高中，https://math.pro/db/thread-3632-1-1.html)

第 3 題：\(x,y\) 為自然數，\(x/y\) 為最簡真分數，\(x+y=3980\) 之（\(x,y\)）有幾組？

\(3980=2^2\cdot5\cdot199\)

\(\Rightarrow \) 在 \(1\) 到 \(3980\) 之間且與 \(3980\) 互質的數有 \(\displaystyle 3980\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{199}\right)=1584\) 個。

故，所求有 \(\displaystyle \frac{1584}{2}=792\) 組。




ps. 夜深了，頭昏昏想睡覺，如果有錯誤記得提醒小弟一下，感謝！：Ｄ

請問老師，真的很謝謝您播時間解題...
第1題中
1981=2＊781+2＊156+3＊31+2＊6+2＊1此式如何找出前面的2,2,3,2,2倍呢？

[ 本帖最後由 matric0830 於 2012-6-5 09:02 AM 編輯 ]

1981 除以 781 → 商 2 ，餘 419
（也就是 1981 最多可以抽出兩個 781，剩下的 419 只能由更小的數字來拼湊了！）

419 除以 156 → 商 2 ，餘 107
（也就是 419 最多可以抽出兩個 156，剩下的 107 只能由更小的數字來拼湊了！）

107 除以 31 → 商 3 ，餘 14
（也就是 107 最多可以抽出三個 31，剩下的 14 只能由更小的數字來拼湊了！）

14 除以 6 → 商 2 ，餘 2
（也就是 16 最多可以抽出兩個 6，剩下的 2 只能由更小的數字來拼湊了！）

2 除以 1 → 商 2，整除
（2就是兩個1了！）

為什麼4444＾4444 除以 9 的餘數會等於Ｂ的各位數字和除以9的餘數呢？

老師謝謝您，我懂了。：）