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I:數與函數
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請問幾題問題?
matric0830
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發表於 2012-6-4 16:42
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請問幾題問題?
題目:
1. n!展開後末尾有1981個0,則n的最大值為?
2. 4444^4444展開後各位數字和A,A之各位數字和為B,則B=?
3. x,y為自然數,x/y為最簡真分數,x+y=3980之(x,y)有幾組?
4. 5x-y-z=15,x^2+y^2+z^2=1997的所有正整數解。
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發表於 2012-6-4 23:47
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第 1 題:
n
!
展開後末尾有
1981
個
0
,則
n
的最大值為?
解答:
因為
1
至
n
當中顯然偶數個數會比五的倍數多很多,所以只需考慮
n
!
化為標準分解式之後會有多少個五,
則
n
!
尾端就會有多少個零。
5!
尾端有
1
個零,
(
5
2
)!
尾端有
1
+
5
=
6
個零
(
5
3
)!
尾端有
1
+
5
+
5
2
=
3
1
個零
(
5
4
)!
尾端有
1
+
5
+
5
2
+
5
3
=
1
56
個零
(
5
5
)!
尾端有
1
+
5
+
5
2
+
5
3
+
5
4
=
7
81
個零
(
5
6
)!
尾端有
1
+
5
+
5
2
+
5
3
+
5
4
+
5
5
=
3
906
個零~哇~
哇勒~爆掉了~得縮小一點才行~
因為
1981
=
2
7
81
+
2
1
56
+
3
3
1
+
2
6
+
2
1
所以來研究一下
(2
5
5
+
2
5
4
+
3
5
3
+
2
5
2
+
2
5
)!
好了~
它的尾端有
2
7
81
+
2
1
56
+
3
3
1
+
2
6
+
2
1
=
1
981
個零
而
(2
5
5
+
2
5
4
+
3
5
3
+
2
5
2
+
3
5
)!
就會是尾端有
1982
個零的數了。
故,
n
可以是
(2
5
5
+
2
5
4
+
3
5
3
+
2
5
2
+
2
5
)
至
(2
5
5
+
2
5
4
+
3
5
3
+
2
5
2
+
3
5
−
1
)
間的任何一個數都可以,
可得
n
的最大值為
2
5
5
+
2
5
4
+
3
5
3
+
2
5
2
+
3
5
−
1
=
3
989
多喝水。
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發表於 2012-6-5 00:14
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第 2 題的題目似乎有誤?應該是要求 B 的各位數字和?(1975年IMO考題)
第 2 題:
444
4
4444
展開後各位數字和A,A之各位數字和為B,則B之各位數字和=?
答案:
因為
444
4
4444
1
000
0
4444
=
1
0
22220
,
所以
4444^{4444}
乘開後頂多是
22221
位數字,所以
A
必不超過
9\cdot22221=199989<199999
因此,
B
必不超過
1+9+9+9+9+9=46
,可知
B
的各位數字和必不超過
3+9=12
再來考慮
4444^{4444}
除以
9
的餘數,
4444\equiv7\pmod9\Rightarrow 4444^{4444}\equiv 7^{4444}\pmod9
因為
gcd(7,9)=1
,所以
7^6\equiv1\pmod{9}
(這裡偷偷用了尤拉推廣費馬小定理的版本
http://zh.wikipedia.org/zh-tw/歐拉定理_(數論)
)
且由於
4444\equiv4\pmod6
,所以
7^{4444}\equiv 7^4\equiv 7\pmod9
因此
B
的各位數字和除以
9
的餘數為
7
,且因為
B
的各位數字和必不超過
12
故,
B
的各位數字和為
7
。
111.4.24補充
桃園高中80周年慶,師生想利用8個8組成一個校運昌隆數作為紀念,經過討論後決定以
8888^{8888}
作為此校運昌隆數。將此校運昌隆數展開後的各位數字和令為
A
,再將
A
的各位數字和令為
B
,求
B
的各位數字和為
。
(111桃園高中,
https://math.pro/db/thread-3632-1-1.html
)
多喝水。
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發表於 2012-6-5 00:26
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第 3 題:
x,y
為自然數,
x/y
為最簡真分數,
x+y=3980
之(
x,y
)有幾組?
3980=2^2\cdot5\cdot199
\Rightarrow
在
1
到
3980
之間且與
3980
互質的數有
\displaystyle 3980\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{199}\right)=1584
個。
故,所求有
\displaystyle \frac{1584}{2}=792
組。
ps. 夜深了,頭昏昏想睡覺,如果有錯誤記得提醒小弟一下,感謝!:D
多喝水。
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謝謝老師
請問老師,真的很謝謝您播時間解題...
第1題中
1981=2*781+2*156+3*31+2*6+2*1此式如何找出前面的2,2,3,2,2倍呢?
[
本帖最後由 matric0830 於 2012-6-5 09:02 AM 編輯
]
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1981 除以 781 → 商 2 ,餘 419
(也就是 1981 最多可以抽出兩個 781,剩下的 419 只能由更小的數字來拼湊了!)
419 除以 156 → 商 2 ,餘 107
(也就是 419 最多可以抽出兩個 156,剩下的 107 只能由更小的數字來拼湊了!)
107 除以 31 → 商 3 ,餘 14
(也就是 107 最多可以抽出三個 31,剩下的 14 只能由更小的數字來拼湊了!)
14 除以 6 → 商 2 ,餘 2
(也就是 16 最多可以抽出兩個 6,剩下的 2 只能由更小的數字來拼湊了!)
2 除以 1 → 商 2,整除
(2就是兩個1了!)
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發表於 2012-6-5 09:35
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為什麼4444^4444 除以 9 的餘數會等於B的各位數字和除以9的餘數呢?
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老師謝謝您,我懂了。:)
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