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請問幾題問題?

請問幾題問題?

題目:
1. n!展開後末尾有1981個0,則n的最大值為?
2. 4444^4444展開後各位數字和A,A之各位數字和為B,則B=?
3. x,y為自然數,x/y為最簡真分數,x+y=3980之(x,y)有幾組?
4. 5x-y-z=15,x^2+y^2+z^2=1997的所有正整數解。

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回復 1# matric0830 的帖子

第 1 題:n! 展開後末尾有 19810,則 n 的最大值為?

解答:

因為 1n 當中顯然偶數個數會比五的倍數多很多,所以只需考慮 n! 化為標準分解式之後會有多少個五,

n! 尾端就會有多少個零。

5! 尾端有 1 個零,

(52)! 尾端有 1+5=6 個零

(53)! 尾端有 1+5+52=31 個零

(54)! 尾端有 1+5+52+53=156 個零

(55)! 尾端有 1+5+52+53+54=781 個零

(56)! 尾端有 1+5+52+53+54+55=3906 個零~哇~

哇勒~爆掉了~得縮小一點才行~

因為 1981=2781+2156+331+26+21

所以來研究一下 (255+254+353+252+25)! 好了~

它的尾端有 2781+2156+331+26+21=1981 個零

(255+254+353+252+35)! 就會是尾端有 1982 個零的數了。

故, n 可以是  (255+254+353+252+25)

      至 (255+254+353+252+351) 間的任何一個數都可以,

可得 n 的最大值為 255+254+353+252+351=3989

多喝水。

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回復 1# matric0830 的帖子

第 2 題的題目似乎有誤?應該是要求 B 的各位數字和?(1975年IMO考題)



第 2 題:44444444 展開後各位數字和A,A之各位數字和為B,則B之各位數字和=?

答案:

因為 44444444100004444=1022220

所以 4444^{4444} 乘開後頂多是 22221 位數字,所以 A 必不超過 9\cdot22221=199989<199999

因此,B 必不超過 1+9+9+9+9+9=46,可知 B 的各位數字和必不超過 3+9=12

再來考慮 4444^{4444} 除以 9 的餘數,

4444\equiv7\pmod9\Rightarrow 4444^{4444}\equiv 7^{4444}\pmod9

因為 gcd(7,9)=1,所以 7^6\equiv1\pmod{9}

 (這裡偷偷用了尤拉推廣費馬小定理的版本 http://zh.wikipedia.org/zh-tw/歐拉定理_(數論)

且由於 4444\equiv4\pmod6,所以 7^{4444}\equiv 7^4\equiv 7\pmod9

因此 B 的各位數字和除以 9 的餘數為 7,且因為 B 的各位數字和必不超過 12

故,B 的各位數字和為 7

111.4.24補充
桃園高中80周年慶,師生想利用8個8組成一個校運昌隆數作為紀念,經過討論後決定以8888^{8888}作為此校運昌隆數。將此校運昌隆數展開後的各位數字和令為A,再將A的各位數字和令為B,求B的各位數字和為   
(111桃園高中,https://math.pro/db/thread-3632-1-1.html)

多喝水。

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回復 1# matric0830 的帖子

第 3 題:x,y 為自然數,x/y 為最簡真分數,x+y=3980 之(x,y)有幾組?

3980=2^2\cdot5\cdot199

\Rightarrow 13980 之間且與 3980 互質的數有 \displaystyle 3980\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{199}\right)=1584 個。

故,所求有 \displaystyle \frac{1584}{2}=792 組。




ps. 夜深了,頭昏昏想睡覺,如果有錯誤記得提醒小弟一下,感謝!:D

多喝水。

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謝謝老師

請問老師,真的很謝謝您播時間解題...
第1題中
1981=2*781+2*156+3*31+2*6+2*1此式如何找出前面的2,2,3,2,2倍呢?

[ 本帖最後由 matric0830 於 2012-6-5 09:02 AM 編輯 ]

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回復 5# matric0830 的帖子

1981 除以 781 → 商 2 ,餘 419
(也就是 1981 最多可以抽出兩個 781,剩下的 419 只能由更小的數字來拼湊了!)

419 除以 156 → 商 2 ,餘 107
(也就是 419 最多可以抽出兩個 156,剩下的 107 只能由更小的數字來拼湊了!)

107 除以 31 → 商 3 ,餘 14
(也就是 107 最多可以抽出三個 31,剩下的 14 只能由更小的數字來拼湊了!)

14 除以 6 → 商 2 ,餘 2
(也就是 16 最多可以抽出兩個 6,剩下的 2 只能由更小的數字來拼湊了!)

2 除以 1 → 商 2,整除
(2就是兩個1了!)

多喝水。

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回復 3# weiye 的帖子

為什麼4444^4444 除以 9 的餘數會等於B的各位數字和除以9的餘數呢?

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回復 6# weiye 的帖子

老師謝謝您,我懂了。:)

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