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101中壢高中

引用:
原帖由 arend 於 2012-5-30 05:40 PM 發表


tsusy老師你好

在下資質遲鈍
你所述 ~~再由畢氏逆定理得 \( \angle P'AP = 90^\circ \)
這邊我還是看不懂

所謂'畢氏逆定理"我沒有學過

我有用geogebra畫過圖,還是看不出來

不過還是謝謝你
我再想想 ...
tsusy 兄 所講的 畢氏逆定理
就是滿足 a^2+b^2=c^2 的三角形三邊長 a,b,c 為直角三角形
(畢氏定理: 三邊長 為a,b,c的直角三角形中, 其中 c為斜邊 , 則a^2+b^2+c^2,  )

經過旋轉過後,可以得到 (P'A)^2+(PA)^2=(P'P)^2, 所以 角 P'AP =90 度

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引用:
原帖由 brace 於 2012-5-30 12:36 AM 發表
請問一下計算題第3題如何解
thepiano 老師已經有解了,

大概就是算出一個高為4, 三邊長為6,8,10的三角柱

加上三個半徑為2, 高分別為6,8,10, 的半圓柱

再加上一個半徑為2的球

所求答案相加為 96+(176/3)pi

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引用:
原帖由 tsusy 於 2012-5-29 04:09 PM 發表
填充 10 仔細一做,根本是騙人的題目...

各位看看,或許是小弟做錯了

聯立 \( y=kx^{2} \), \( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=a^{2}+b^{2} \) 得 \( x(k^{2}x^{3}+(1-2kb)x-2a)=0 \)

實係數四次方程式,已知有恰有三相異實根,必為 ...
這篇借小弟回鍋一下,今天算這一題繞了好久,都繞不出答案,一直想利用重根這件事情,卻沒有好好利用根與係數

看到 tsusy 兄的解法才恍然大悟,原來這時候的解是唯一的,真的是被騙了。

之後有重新利用根與係數關係,真的可以很輕易的把根得到,其實這個方法只是把 tsusy 兄 的寫法稍微回鍋一下而已,

(之前繞來繞去的時候一直得到重複的式子囧,代數的一些觀念跟想法還有待加強)

附件

填充第10題.jpg (102.08 KB)

2012-5-31 17:29

填充第10題.jpg

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回復 43# hua0127 的帖子

題目並沒有說圓和拋物線要相切,
你們自己加了這個條件,得到唯一解應該是可預期的。
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 44# 老王 的帖子

題目的確是沒有說相切, # 17 小弟回覆就曾說或許是小弟錯了

也許是小弟的中文不好會錯意,但也不排除題目的敘述不好

來看看原題敘述「...有異於原點的另外兩個交點,此二交點落在直線 \( y = kx+b \) 上」

前半段有另外兩個交點,當然沒有有另外兩個交點的意思,應該可以指二個以上
當然也有可能小弟的中文理解錯誤

但後半的此二兩字,是指定的用法。當交點數是有三個的情況,此二兩個字根本無法指定,是不通的用法

如果真的要把敘述說好不誤會,要麼加上「恰有」二字,或是改成其交點有兩點落點落在直上  \( y =kx+b \)

不過既然題目要求最小值,推測後者才是出題者的原意,也就是不應該加上相切的條件。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-31 08:00 PM 編輯 ]
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回復 45# tsusy 的帖子

前天她問我的時候,一開始我也以為是要相切;但是又想一下,覺得不必。
後來實際去做的時候,就將直線\( y=kx+b \)代入拋物線和圓的時候,得到兩個方程式:
\(\displaystyle kx^2-kx-b=0 \)
\(\displaystyle (1+k^2)x^2-2ax-b^2=0 \)
題目的意思就只是有相同交點(異於原點),所以上兩方程式一致,就有
\(\displaystyle b=\frac{1+k^2}{k},2a=kb \)
可以得到答案。
但是我再用相切下去,跟你一樣得到
\(\displaystyle b=\frac{1+3k^2}{2k} \)
這樣答案不一樣。
最後求助GGB,才了解多了相切這個條件的話,就只有在\( k=1 \)的時候。

至於題目的敘述,"有兩個"就是有兩個,如果只有兩個就是那兩個,如果有三個,就是其中兩個;
"此二"當然就是前一句所說的"兩個",是指定好的。
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 19# tsusy 的帖子

寸絲老師!!
想請問一下 為什麼要從2012開根號考慮呢??
還有過程有點看不太懂...
能不能解釋一下
感謝你!!

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回復 47# Crazystan 的帖子

計算 2. 因為書寫順序和思考的順序不同...所以才讓您覺得從 \( \sqrt{2012} \) 寫起怪怪的吧


思考的時候,是從幾個例子開始,


如果 \( k =1 \), 取 \( n=2012 \)
如果 \( k =2 \), 取 \( n=1006 \)
如果 \( k =3 \), 取 \( n=670 \)
...
發現基本上就是去找 \( n = [\frac{2012}{k}] \)


剩下來的就是去實現這個發現,那什麼條件之下,可以保證商就是我們要的 \( n \)


其實就是餘要小於商,用 #19 中的記號就是 \( r<m \),但我們的除法只保證 \( 0 \leq r < k \) (原先漏一個等號)


所以才借助 \( \sqrt{2012} \) 來使得 \( k\leq m \) ,如此來一來處理完 \( k=1 \) 到 44 都有解


剩下的只好一個一個慢慢驗,只是一樣借助  \( r<m \) 加快檢驗

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-1 08:54 AM 編輯 ]
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回復 2# dtc5527 的帖子

填充第 7 題,換個方向旋轉也不錯。

填充第 7 題,另解一:



如圖,將 \(\triangle PBC\) 以 \(B\) 為旋轉中心,逆時針旋轉 \(90^\circ\),

則 \(\triangle PQB\) 為等腰直角三角形,得 \(\overline{PQ}=5\sqrt{2}\),

在 \(\triangle APQ\) 中,因為 \(\overline{PQ}^2=\overline{AP}^2+\overline{AQ}^2\)  ( \((5\sqrt{2})^2=7^2+1^2\) ),

因此 \(\triangle QAP=90^\circ\),\(\displaystyle\sin\angle AQP=\frac{7}{5\sqrt{2}}, \cos\angle AQP=\frac{1}{5\sqrt{2}}\)

得 \(\displaystyle\cos\angle AQB=\cos\left(\angle AQP+45^\circ\right)=\cos\angle AQP\cos 45^\circ-\sin\angle AQP\sin45^\circ=\frac{-3}{5}\)

在 \(\triangle AQB\) 中,由餘弦定理,可得 \(\overline{AB}^2=1^2+5^2-2\cdot1\cdot5\cdot\cos\angle AQB=32\),此即為正方形 \(ABCD\) 之面積。


(註:或是學 shiauy 老師用托勒密定理也不錯,哈!)


另解二:



設正方形 \(ABCD\) 的邊長為 \(x\),\(\angle PBC=\alpha,\angle PBA=\beta\),

因為 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 互餘,所以 \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta=1\)

[說明: \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta=\cos^2\alpha+\cos^2\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\)  ]

在 \(\triangle PBA\) 中,由餘弦定理可得 \(\displaystyle\cos\alpha=\frac{5^2+x^2-7^2}{2\cdot5\cdot x}\)

在 \(\triangle PBC\) 中,由餘弦定理可得 \(\displaystyle\cos\beta=\frac{5^2+x^2-1^2}{2\cdot5\cdot x}\)

因此,

\(\displaystyle\left(\frac{5^2+x^2-7^2}{2\cdot5\cdot x}\right)+\left(\frac{5^2+x^2-1^2}{2\cdot5\cdot x}\right)=1\)

解「\(x^2\)」的一元二次方程式,即可得 \(x^2=32\),此即為正方形 \(ABCD\) 之面積。

(註:「\(x^2\)」解出的另一根為 \(18\) ,但如此會使得 \(\cos\alpha<0\),但顯然 \(\alpha\) 為銳角,故不合。)



註:解完才發現 wdemhueebhee 老師已經回過上面的作法了,囧rz.....

多喝水。

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