想請教填充第4,5題和計算第3題

引用:

原帖由 阿光 於 2012-5-2 07:43 PM 發表
想請教填充第4,5題和計算第3題

填充第四題:
甲、乙二人輪流擲一枚均勻的硬幣，誰先擲出正面，誰獲勝，如此稱為一局，他們連玩了數局，並規定前一局的輸家下一局先擲，若甲第一局先擲，則甲第六局獲勝的機率為？
[解答]
先算出先擲的一方獲勝的機率為 2/3 ,  輸的機率為1/3
另P(n)為甲第n局獲勝的機率，
則可得到一個遞迴式 P(n)=(1/3)P(n-1)+(2/3)(1-P(n-1))
可解出 P(n)=(1/6)*(-1/3)^n-1
帶入P(6)=364/729

想法若有瑕疵也煩請大家指教，謝謝。

第五題做法,按照題意即可

填充第五題：

思考一：看起來很像旋轉矩陣，就當旋轉矩陣來玩看看好了。

解答一：

qq.png (10.43 KB)

2012-5-3 12:15

如圖，令 cos=11+a2sin=a1+a2，其中 090

則 M=coscossin−sincos 

（註：以原點為中心逆時針旋轉 且伸縮為原來的 cos 倍）

畫出下圖：

qq2.png (21.86 KB)

2012-5-3 12:15

其中

qq3.png (16.61 KB)

2012-5-3 12:15

因此我們要求的面積＝21sincossinsin180−=21cossin3 

由算幾不等式，可得

4cos2+31sin2++31sin2++31sin24cos23sin23 


化簡後，可得所求三角形面積的最大值為 3233 



思考二：咦，剛剛的過程雖然包裝成三角函數，

　　　　可是也只是方便算面積而已呀，沒有用到什麼三角函數的特別性質，

　　　　而且最後還是透過算幾不等式，

　　　　也就是如果一開始就硬做＋算幾，應該也可以呀。

解答二：

如同前篇回覆，先算出 P1P2P3，再算 P1P2P3=a321+a22


可由算幾不等式得

4111+a2+31a21+a2+31a21+a2+31a21+a24127a6(1+a2)4 

3233a32(1+a2)2 

瑋岳大師的方法好酷喲，不知道誰能將計算第3題的方法仔細show 一下，謝謝。

剛剛暴力硬算，其實沒有很醜，只是之前一直不敢算

計算 3

令三個對應邊為 abc，則 G3C=a3 , G2C=b3 , G3CG2=3+C，

cosC=2aba2+b2−c2, sinC=ab2，cos(3+C)=4aba2+b2−c2−ab3 

餘弦定理硬算 G2G32=3a2+3b2−32abcos(3+C)=6a2+b2+c2+323 

對稱的，另兩邊也一樣，三邊相等，得證。

換個方法暴力硬算

R=cos600+isin600
R3=−1
R2=R−1

3G1=A+B+D=A+B+B+(A−B)R=A(R+1)+B(−R+2)
3G2=B+C+E=B+C+C+(B−C)R=B(R+1)+C(−R+2)
3G3=C+A+F=C+A+A+(C−A)R=C(R+1)+A(−R+2)

3(G3−G1)=A(−2R+1)+B(R−2)+C(R+1)
3(G2−G1)=A(−R−1)+B(2R−1)+C(−R+2)

R3(G2−G1)
=A(−R2−R)+B(2R2−R)+C(−R2+2R)
=A(−2R+1)+B(R−2)+C(R+1)
=3(G3−G1)

R \cdot (G_2-G_1)=(G_3-G_1)
Q.E.D.

引用:

原帖由 hua0127 於 2012-5-3 09:13 AM 發表


填充第四題:
先算出先擲的一方獲勝的機率為 2/3 ,  輸的機率為1/3
另P(n)為甲第n局獲勝的機率，
則可得到一個遞迴式 P(n)=(1/3)P(n-1)+(2/3)(1-P(n-1))
可解出 P(n)=(1/6)*(-1/3)^n-1
帶入P(6)=364/729

想法若有瑕 ...

請問hua0127老師


可解出  應該是
P(n)=(1/6)*(-1/3)^n+(1/2)

我算出是這樣


若乙第1局先擲,情況又會如何?
大家討論一下

謝謝

[ 本帖最後由 arend 於 2012-5-4 04:24 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 arend 於 2012-5-4 03:38 PM 發表

P(n)=(1/6)*(-1/3)^n+(1/2)

若乙第1局先擲,情況又會如何?
大家討論一下

n=1 代入檢驗，就知道是否有錯

而乙先擲的情況，方法完全相同，甚至式子也幾乎沒有差別

何不自己試一下，順帶驗證，是否真的懂了，學會這個方法了

再由大家幫忙看看是否有錯誤，就行了

如果更懶一點，其實也有不重新計算的方法(甲、乙 對稱)

看到第三題矩陣，完全沒有想過要像這樣硬解 X, Y

還好題目是問 X^n ，才想到應該從特徵值下手

找 P 把 A 對角化， X,\, Y 做 Similar transfrom 的 X',\, Y'

這時候 X',\, Y' 滿足一樣式子，但是 A 被對角化，

所以用眼睛一看，就知道 X', \, Y' 是 \left(\begin{array}{cc}1 & 0\\ 0 & 0\end{array}\right) 和 \left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1\end{array} \right)

接下計算 X^n 也因為那個 1 0; 0 0 怎麼乘不變，所以 X^n = X

中間的計算，就不做了，有興趣的自行完成