15.
四邊形\(ABCD\)，\(\overline{AB}=14\)、\(\overline{BC}=9\)、\(\overline{CD}=7\)、\(\overline{DA}=12\)，求四邊形\(ABCD\)的所有內切圓中，面積最大者為　　　。
[解答]
剛剛又重試了一下

令 14, 9 的夾角是 \( \alpha, 7,\,12 \) 的夾角是 \( \beta \)，由對角線長和餘弦得

\( 14^{2}+9^{2}-2\cdot14\cdot9\cos\alpha=12^{2}+7^{2}-2\cdot12\cdot7\cos\beta \)

\( B=14\cdot9\cos\alpha-12\cdot7\cos\beta=\frac{14^{2}+9^{2}-12^{2}-7^{2}}{2} \)

\( A=\frac{1}{2}(14\cdot9\sin\alpha+7\cdot12\sin\beta) \)

\( \frac{(2A)^{2}+B^{2}}{2\cdot7\cdot9\cdot12\cdot14}=\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta + c=-\cos(\alpha+\beta) + c \leq1 +c \)

而 \( r = \frac{2A}{7+9+12+14}\)

等號成立條件為，即 \( \alpha+\beta=\pi \), 此時，四邊形為圓內接四邊形。

\( r \)  有最大值，但是否應該檢驗此時內切圓的存在性呢？

回復 31# tsusy 的帖子：

請問寸絲老師，是否可以這樣解釋：
因為四個邊不能唯一決定四邊形，故我們可取圓內接四邊形的時候讓等號成立
不知這個想法有無瑕疵？

另外想向版上請教一下填充13題的a7要如何算？是知道要算三三乘積和
但不知如何下手，謝謝

你太客氣，我也只是考場眾生的一員而已。

如你所說，四邊形不唯一，所以可以調整大小，

所以剩下的事，只是說明此時內切圓存在。

注意，題目給的邊是對邊和相等，如果沒這個條件的話，

是不可能剛好切四個邊的 (用頂點到圓兩切線段等長而得)。

而內切圓的存在，但似乎只要凸四邊 + 對邊相等，就會存在切四個邊的內切圓。

想法上，由相鄰兩角做平分線交點找出圓心。

再利用三角不等式、切線段等長、對邊和相等，強迫另兩角的到圓的切線段要連成第四條邊即可。

至於凸，應該是要用到切線邊，是不是切到邊延長的直線。

以上是寸絲的想法，但覺得有點小麻煩，應該有更乾淨俐落的辦法吧?

引用:

原帖由 hua0127 於 2012-5-1 07:52 PM 發表

另外想向版上請教一下填充13題的a7要如何算？是知道要算三三乘積 ...

請看下面連結~

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2785

請問填充第3題如何求?

填充1.
設兩圖形\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{(x-1)^2}{n^2}+y^2\le 1\)，\(\Gamma'\)：\(\displaystyle (x+3)^2+\frac{(y+2)^2}{n^2}\le 1\)(其中\(n\ge 10\))，其相交部份的面積為\(a_n\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\)　　　。

請問填充第一題，除了用\(n\)趨近無限大，相交圖形接近正方形
是否有其他作法呢?

15.
四邊形\(ABCD\)，\(\overline{AB}=14\)、\(\overline{BC}=9\)、\(\overline{CD}=7\)、\(\overline{DA}=12\)，求四邊形\(ABCD\)的所有內切圓中，面積最大者為　　　。
[提示]
15題參考資料
數學傳播 十七卷三其 民82年9月
蔡聰明 四邊形的面積

面積 S = \( \sqrt{ (s-a)(s-b)(s-c)(s-d)  - a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot cos^2 ( \frac{B+D}{2} ) }  \)

最大值 出現於 B+D =180度 即 圓內接四邊形

注意，題目給的邊是對邊和相等，如果沒這個條件的話，

是不可能剛好切四個邊的

感謝tsusy～對邊和相等 這句話直接切入我的盲點
這樣似乎一切合乎情理

另外感謝 Ellipse 兄 以及 彬爸 提供了參考的資料

填充第三題我是這樣考慮 如附件

請問填充第11題.....我用複數極式做, 只求出101個解, 不知103從那來?

謝謝hua0127和以上其他老師!!

填充14.
空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為　　　。
[解答]
公式 及 推導 請參閱 附件 第18,19頁

\( a= \overline{BC} =5 \)
\( b= \overline{CA} =5 \)
\( c= \overline{AB} =6 \)

\( \alpha = \overline{DA} =5  \)
\( \beta = \overline{DB} =7  \)
\( \gamma = \overline{DC} =6  \)

\( \displaystyle V^2= \frac{1}{288}  \Bigg|\; \matrix{ 2 \alpha^2 & \alpha^2 + \beta^2 - c^2 & \alpha^2 +\gamma^2 - b^2 \cr \alpha^2 +\beta^2 - c^2 & 2 \beta^2 & \beta^2 +\gamma^2 - a^2 \cr \alpha^2 +\gamma^2 - b^2 & \beta^2 +\gamma^2 - a^2 & 2 \gamma^2} \Bigg|\;  \)   

\( \displaystyle = \frac{1}{288}  \Bigg|\; \matrix{ 2 \cdot 5^2 & 5^2 + 7^2 -6^2 & 5^2 + 6^2 -5^2 \cr 5^2+7^2-6^2 & 2 \cdot 7^2 & 7^2+6^2-5^2 \cr 5^2+6^2-5^2 & 7^2+6^2-5^2 & 2 \cdot 6^2 } \Bigg|\;  \)   

\( =\frac{105984}{288} =368 \)

\( V=4 \sqrt{23} \)