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圓內接正二十四邊形問題

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圓內接正二十四邊形問題

以一個正24邊形的頂點任取三點所組成的三角形中,三內角均大於30度的三角形有幾個?
{請問這個題目,把一個圓形畫出來後,圓周上把二十四個等分點標出來後,怎麼樣討論才不會漏}
一直找不出一個很有系統的方法討論}

108.4.27補充
已知圓周上有二十四個等分點,任取三點所組成的三角形中,三個內角均大於30度的有_____個
(108中科實中 雙語部,https://math.pro/db/thread-3122-1-1.html)

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回復 1# shingjay176 的帖子

本題相當於圓內接正 \(24\) 邊形的頂點中,任選三點出來,

但任意兩個選出來的頂點間,至少要間隔四個沒有被選到的頂點,

先任選一個點固定下來吧,有 \(24\) 個選擇,

選完之後~

這個點與另兩個將要被選到點之間,

至少要先放 \(4\times3=12\) 個沒有被選到的點,

因此,扣除三個將要被選到的點~~與間格中最少數量的沒有要被選到點,

還有 \(24-12-3=9\) 個沒有要被選到點,

把這九個點放入由三個要被選到的點所形成的三個間隔中,有 \(H_9^3=C^{11}_9=55\) 種放入的方法,

但是一開始選出來的第一個頂點,可能是三角形中的三個點中的任一個,

因此我們剛剛算出來的三角形數會重複三倍的數量,

正確的三角形個數是 \(\displaystyle\frac{24\times55}{3}=440\) 個。

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謝謝~~我來仔細好好研究~~我手邊的解答採取正面的作法~~要算的組合情形太多~~怕漏掉~~我直觀還是反面去扣掉不合的~~~

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佩服~~這個想法~~是一個不錯的想法,之前解題目,可能只有徒法煉鋼的畫出來,或是硬討論。基本上這樣的題目,直角三角形,是比較基本的考法,還有鈍角三角形,或銳角三角形。這個想法我覺得關鍵在,【任意兩個選出來的頂點間,至少要間隔四個沒有被選到的頂點】再利用H個概念,就解的很漂亮。下次只要規定大於其他的角度,不是三十度。就只有調整間隔的頂點數。

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回復 2# weiye 的帖子

想請問老師,為什麼【任意兩個選出來的頂點間,至少要間隔四個沒有被選到的頂點】?

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依題意,三角形任一角(是個圓周角)都需要超過30度,

因此該角所對應的弧,都要超過60度,

把圓均分成24等分,每一個弧的度數都是15度,

因此選出來的兩頂點之間至少要夾超過4個15度的弧,

也就是由正24個邊形的24個頂點所選出來的三個頂點中,

任兩個頂點間,必須要有超過4個15度的弧,

亦即至少要有超過三個"沒有被選到的頂點",

亦即至少要有四個以上的"沒有被選到的頂點"。

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2013-9-2 18:19

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