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100永春高中代理

回復 7# pizza 的帖子

填充第 8 題
一小球由原點O(000)發射,撞擊到平面E1x+2y+2z=18上一點A,再經過平面E1反射後,撞擊到平面E22x+y+2z=10上一點B,再經由平面E2反射後,彈向一個點C(111)。試求OA+AB+BC之值為   
[解答]
O 對稱 E1:x+2y+2z18=0,可得對稱點 P(488)

C 對稱 E2:2x+y+2z+10=0,可得對稱點 Q(533)

則 OA+AB+BC

  =PA+AB+BQ

  =PQ=323 

多喝水。

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想請問填充9

我的立體概念不好  完全無思緒  可否給點指教 謝謝

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回復 12# WAYNE10000 的帖子

填充第 9 題,
設正方形ABCD之邊長為1,而PQ依次為BCCD之中點,若將此正方形沿虛線APAQPQ向上摺起,使BCD三點重合為一點R,則R點到底面APQ之距離為   
[解答]
R 當原點,RQ 射線當正向 x 軸,RP 射線當正向 y 軸,RA 射線當正向 z 軸,

APQ 所在平面方程式為 x21+y21+z1=12x+2y+z1=0

原點 RAPQ 所在平面的距離=22+22+120+0+01=31



另解:(沒有比較快XD)

APQ 面積=正方形 ABCD 面積-ABP 面積-ADQ 面積-CPQ 面積

      =\displaystyle\frac{3}{8}

因為錐形體 APQR 的體積=\displaystyle\frac{1}{3}\times \triangle RPQ\mbox{面積}\times \overline{RA}=\frac{1}{3}\times\triangle APQ\mbox{面積}\times \left(R\mbox{到}\triangle APQ\mbox{的距離}\right)

所以 \displaystyle\frac{1}{3}\times \frac{1}{8}\times 1 =\frac{1}{3}\times \frac{3}{8}\times \left(R\mbox{到}\triangle APQ\mbox{的距離}\right)

   \displaystyle\Rightarrow R\mbox{到}\triangle APQ\mbox{的距離}=\frac{1}{3}




其實還可以再來個另解~(更慢一點~但是只要會畢氏定理就可以了)

\overline{PQ} 的中點為 M

就是拿菜刀往錐形體 APQR~延 \triangle ARM 剖下去,

利用畢氏定理算出各邊長之後,再來就可以算出直角\triangle ARM 斜邊上的高~即為所求。:)

多喝水。

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填充6
設複數z滿足|\;z|\;=1,則\displaystyle \left| z+\frac{2}{z}+1\right|之最大值為   
[解答]
因為 |z|=1 ,所以
\displaystyle  \frac{1}{z}=\overline{z}

\displaystyle |z+\frac{2}{z}+1|^2=|z+2\overline{z}+1|^2

\displaystyle =(z+2\overline{z}+1)(\overline{z}+2z+1)

\displaystyle =2(z^2+\overline{z}^2)+3(z+\overline{z})+6

\displaystyle =2(z+\overline{z})^2+3(z+\overline{z})+2

\displaystyle =8Re(z)^2+6Re(z)+2

\displaystyle =8(Re(z)+\frac{9}{64})^2+\frac{7}{8}

因為 -1<Re(z)<1
所以當 Re(z)=1 時有最大值16
於是所求為4

另外,11題我一直沒想通,請教想法,感謝!!
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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填充第 11 題,
有紅,黃,藍,綠四種顏色,要從右圖中任取4小格塗色,且顏色不重複使用,每1小格只塗一色,但同一行、同一列皆只能塗1小格﹐則有   種不同的塗法。
□ □ □ □
□ □ □ □
□ □ □ □
□ □ □ □
[解答]
就先來塗紅色吧~

紅色有 16 格可以選~

任選一格之後~與紅色那格同行或同列的其他格就不能塗了~

刪掉紅色那格所在的行與列,剩下空格集中靠攏,

再來塗黃色,還有 9 格可以選~

任選一格之後~與黃色那格同行或同列的其他格就不能塗了~

刪掉黃色那格所在的行與列,剩下空格集中靠攏,

再來塗藍色,還有 4 格可以選~

任選一格塗藍色之後~與藍色那格同行或同列的其他格就不能塗了~

刪掉藍色那格所在的行與列,

剩下只有一個空格可以選而已~當然就只能塗綠色啦。

因此,塗色的方法數為 16\times 9\times 4\times 1=576

附件

qq.png (24.13 KB)

2012-2-2 16:47

qq.png

多喝水。

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感謝瑋岳老師!!原來我把題目看錯了
以為是用四種顏色各塗四個方格
每個顏色都不能同行同列
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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回復 16# 老王 的帖子

我剛剛試著用老王老師的新規則~

「用四種顏色各塗四個方格、每個顏色都不能同行同列」
討論到最後也是 576 耶!

就第一行、第二行、第三行、第四行地慢慢討論所有可能性~

4!\times(3\cdot 1\cdot 1\cdot 1)\times(2!\cdot 2!)\times(1^4)+4!\times(3\cdot 2\cdot 1\cdot 1)\times(2\cdot 1\cdot1\cdot1)\times(1^4)=576

第一大類是~第一行與第二行~剛好某兩顏色互換~另兩顏色也互換~

第二大類是~第一行與第二行沒有任何顏色互換~

剩下第三行與第四行就用慢慢討論的~其實只有很少種可能性。

這些討論不是重點,重點在~答案與原題目相同耶~



也就是原題目只把四格塗四色結束之後~

如過要繼續把剩下的 12 格的顏色~用老王老師的新規則塗上去~

或許只有唯一的一種塗法(此點有待證明,純屬隨便亂猜測~:P)~或是必定無法繼續塗下去?!

或是說~猜測這兩者(新、舊規則的每一種塗法)可能有某種唯一的對應關係!

神奇耶!(小弟原本還以為兩者會相差四倍~:P)

<<為避免小弟計算的過程可能有算錯~待會寫詳細一點加張圖,請大家來幫我檢查一下~:P>>

多喝水。

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回復 17# weiye 的帖子

「用四種顏色各塗四個方格、每個顏色都不能同行同列」

上篇回覆中,討論的圖解,寫在附加檔案,如果有錯誤煩請不吝告知,感謝。

^____^



另外,小弟繼續思考,還發現~

如果以最容易填完的一種情況情況出發~將任兩行互換~或任兩列互換~

也都會是符合題目要求的情況~

因此~將 任數行位置互換~或任數列位置互換,延伸出來的都是滿足"新規則"的塗法。

   將 任數行位置互換~或任數列位置互換,延伸出來的都是滿足"舊規則"的塗法。

而將原本的第一二三四列換到新的一二三四列~總共有 4! 種方法,

 將原本的第一二三四行換到新的一二三四行~總共有 4! 種方法,

所以換完之後的情形種共有 4!\times4!=576 種。

但是~~~~~如何證明就只有這麼多,而不會有「更多」種呢?

或是說~如何證明全部的塗色方法,都可以經由任意數行互換~再任意數列互換,

而變成最基本的上面哪兩張(對應到新、舊規則)的方法呢?

十分有趣!:P

附件

Book2.xls (80 KB)

2012-2-3 08:58, 下載次數: 6256

Book2.pdf (226.68 KB)

2012-2-3 08:58, 下載次數: 7646

多喝水。

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94年第二區筆試二第六題,沒有答案。(因為參考答案給了個奇怪的東西)可以對照一下。

附件

94北二區筆試2-6.jpg (35.03 KB)

2012-3-10 10:10

94北二區筆試2-6.jpg

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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把題目寫出來讓以後的網友也能google到這篇
有一遊戲規則如右:在右圖中每一直行、每一橫列即每個小四方格裡,只有1到4的數字,每個數字在每個行列及每個小四方格裡都只出現一次,滿足這些條件的填法稱為一種解法。考慮方格不可旋轉或翻轉,則共有幾種解法。


這是2x2的數獨,wiki答案是288
http://en.wikipedia.org/wiki/Mat ... rectangular_regions

解法可以參考看這篇
http://forum.enjoysudoku.com/sud ... are-t170.html#p2992
by geoff

A neat way of counting.
Consider grids of the type

AB | xx
Cx | xx
--------
xx | Dx
xx | x E

where A,B,C are different, D and E are different. There are 288 of these and each gives a unique solution. Therefore 288 solutions.

A、B、C三個數字要完全不同有4*3*2=24種
D、E兩個數字要完全不同有4*3=12種
A~E數字決定後剩下的空位是唯一決定的
共有24*12=288種

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