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請享用

想請教填充第2題 謝謝

填充第 2 題：
\(\displaystyle log_3 \left[(3+1)\cdot (3^2+1)\cdot (3^4+1)\cdot \ldots \cdot (3^{64}+1)+\frac{1}{2}\right]+log_3 2\)的值為　　　。
[解答]
\(\log_3\left((3+1)(3^2+1)(3^4+1)\cdots(3^{64}+1)+\frac{1}{2}\right)+\log_3 2\)

\(=\log_3\left(2(3+1)(3^2+1)(3^4+1)\cdots(3^{64}+1)+1\right)\)

\(=\log_3\left((3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)\cdots(3^{64}+1)+1\right)\)

\(=\log_3\left((3^{128}-1)+1\right)\)

\(=\log_3\left(3^{128}\right)\)

\(=128.\)

請教填充第一題
謝謝

填充第 1 題：
設\(A(3,3)\)、\(B(-1,-5)\)、\(C(6,0)\)及直線\(L\)：\(y=mx-8m-6\)，若直線\(L\)與\(\Delta ABC\)相交，則求\(m\)的範圍　　　。
[解答]
\(\displaystyle L: y=mx-8m-6\Rightarrow m=\frac{y-(-6)}{x-8}\)

令 \(P(8,-6)\)



如圖，

依題目敘述， \(L\) 與 \(\triangle ABC\) 有相交，可得

　　　　　\(PB\) 直線斜率 \(\leq m\leq PB\) 直線斜率

所以，\(\displaystyle -3\leq m\leq \frac{-1}{9}\)

謝謝瑋岳老師

請教多選1的(2)和(3)為什麼錯?
還有多選2,填充6和8該怎麼算?謝謝

多選第1題
設\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)為實係數三次多項式，則下列選項哪些是正確的？
(1)\(y=f(x)\)的圖形與\(x\)軸至少交於一點
(2)若\(f(2-\sqrt{3})=-7+2\sqrt{3}\)，則\(f(2+\sqrt{3})=-7-2\sqrt{3}\)
(3)若\(\displaystyle -\frac{2}{3}\)為方程式\(f(x)=0\)的一根，則\(3|a\)且\((-2)|d\)
(4)若方程式\(f(x)=0\)有一實根為0與兩虛根，則\(a\times c>0\)
(5)若\(-1\)與2之間有實數\(x\)，使得\(f(x)=0\)，則\(f(-1)f(2)<0\)
[解答]
　　第2個選項：題目沒有說是「有理係數多項式」，因此可以舉反例如下：

　　　　　　　\(f(x)=x\left(x-2+\sqrt{3}\right)\left(x-2-\sqrt{3}\right)-7+2\sqrt{3}\)


　　第3個選項：題目沒有說是「整係數多項式」，因此可以舉反例如下：

　　　　　　　\(\displaystyle f(x)=x^2\left(x+\frac{2}{3}\right)\)

多選第 2 題
已知一正方形\(ABCD\)依下列方式分割正方形為數個全等且不重疊的直角三角形：
(1)當\(n=1\)，如圖(一)正方形\(ABCD\)被分割為2個直角三角形，共5個邊
(2)當\(n=2\)，如圖(二)正方形\(ABCD\)被分割為8個直角三角形，共16個邊
(2)當\(n=3\)，如圖(三)正方形\(ABCD\)被分割為18個直角三角形，共33個邊
依照上述規則，當\(n=50\)時，正方形\(ABCD\)會被分割為\(a\)個直角三角形，共\(b\)個邊，則下列個敘述何者正確？
(1)\(a=5000\)　(2)\(b=7500\)　(3)\(|\;a-b|\;=2500\)　(4)\(a,b\)的最大公因數\(=200\)　(5)\(a+b=12500\)
[解答]
小正方形有 \(50\times 50\) 個，每個都可以分成兩個小三角形，

所以 \(a=50\times 50\times 2=5000\)

小斜線有 \(50\times 50\) 條

小水平線有 \(50\times 51\) 條

小鉛直線有 \(50\times 51\) 條

\(b=50\times50+50\times 51+50\times 51=7600\)

\(\left|a-b\right|=2600\)

\(a,b\) 的最大公因數 \(=200\)

\(a+b=12600\)

填充第 6 題
設複數\(z\)滿足\(|\;z|\;=1\)，則\(\displaystyle \left| z+\frac{2}{z}+1\right|\)之最大值為　　　。
[解答]
令 \(z=\cos\theta+i\sin\theta\)

則 \(\displaystyle \left|z+\frac{2}{z}+1\right|=\left|(\cos\theta+i\sin\theta)+2\left(\cos\theta-i\sin\theta\right)+1\right|\)

\(=\left|3\cos\theta+1-i\sin\theta\right|\)

\(\displaystyle =\sqrt{\left(3\cos\theta+1\right)^2+\sin^2\theta}\)

\(\displaystyle =\sqrt{9\cos^2\theta+6\cos\theta+1+\sin^2\theta}\)

\(\displaystyle =\sqrt{8\cos^2\theta+6\cos\theta+2}\)

令 \(t=\cos\theta\)，則 \(-1\leq t\leq 1\)

因為 \(\displaystyle y=f(t)=8t^2+6t+2\) 是開口向上拋物線的部分圖形，

所以最大值即是 「兩個邊界端點 \(f(1)\) 或 \(f(-1)\) 的最大值」＝\(16\)

所以 \(\displaystyle \left|z+\frac{2}{z}+1\right|\) 的最大值＝\(\sqrt{16}=4\)