如題

想請問計算第二  感謝

計算2.
設\(\displaystyle a_n=\left[\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{n+2}{n}\right)\left(\frac{n+3}{n}\right)\ldots \left(\frac{n+n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n\)。
[提示]
將 \( a_n\) 取 \( ln \) 以後，就變成 Riemann Sum。

\(a,b\in R\)，若\(ax+by=1\)與\(x^2+y^2=50\)僅有整數解，求數對\((a,b)\)有多少組？　　　。

想請問填充七的做法

\(x^2+y^2=50\)圖形上找格子點共有12個

\(ax+by=1\)圖形為一直線,只通過上述12個格子點的直線共有\(C(12,2)+C(12,1)\)條

直線條數不是應該要等於數對\((a,b)\)組數?

但答案不對，請老師指正

要扣掉通過原點的，因為方程式中常數項為1。

想請教填充3.6.8 和 計算一, 謝謝!!

3
主人宴客，刻意安排10個互不認識的客人一同圍坐一圓桌，希望客人能互相認識，不料席間每位客人都只與相鄰的人交談認識。飯局後主人從中隨意挑選四人，試求四人皆互不認識的機率？　　　
[解答]
第一個任取，接下來要在9個裡面取3個，但不得相鄰，就變成7個直線不相鄰，
用剩下4個去隔開，所以是
\(\displaystyle \frac{C_3^5}{C_3^9}=\frac{5}{42} \)

8
\(f(x)\)為整係數多項式，且領導係數為1，\(x=1-\root 3 \of 2-\root 3 \of 4\)為\(f(x)=0\)之一解，求次數最低之\(f(x)=\)　　　。
[解答]
令\(\displaystyle a=\sqrt[3]{2} \)
\(\displaystyle x=1-a-a^2 \)
老技巧，考慮\(\displaystyle (1+a)^3=3+3\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4}=3(1+a+a^2)=3(2-x) \)
\(\displaystyle (x-1)=-a-a^2=-a(1+a) \)
兩邊三方
\(\displaystyle x^3-3x^2+3x-1=-2*3(2-x) \)
\(\displaystyle x^3-3x^2-3x+11=0 \)
顯然這是最低次

6
先在橢圓蛋糕\(30cm\)的長軸與\(20cm\)的短軸上各切一刀,若欲將蛋糕八等份，且每一刀均切過橢圓中心，則下一刀與長軸所夾銳角為多少？　　　。
[解答]
將半徑15的圓作伸縮變換成橢圓

請教老王老師~
第七題  ax+by=1圖形為一直線,只通過上述12個格子點的直線共有C(12,2)+C(12,1)條
             ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
這個部份....為什麼一定可這樣取?
ex (1,7)是滿足x^2+y^2=50的整數點
代入 ax+by=1得 a+7b=1
那可令a=-6+7k
            b=1-k           k屬於R
又因為a.b屬於R
那麼這樣代出來不就有無限多組解@@?
請問我的想法哪裡出錯了...
謝謝您的回覆

請問計算第1題
感覺上跟成淵高中的青蛙跳很像
只不過A不能直接跳到C
          B不能直接跳到D
不過該如何把以上那兩種狀況去除呢?
懇請指點~
謝謝大家

計算題1.
如下圖, \(O\)為正方形\(ABCD\)的中心。程式設定讓機器跳蚤在圖中諸點之間跳動﹐每次都可以跳到相鄰的任何一點﹐例如：由\(A\)點可跳到\(O\)﹑\(B\)﹑\(D\)中的任何一點﹐由\(O\) 點可跳到\(A\)﹑\(B\)﹑\(C\)﹑\(D\)中的任何一點。設從\(O\)點開始﹐經\(n\)次跳動返回 \(O\)點的路線有 \(\displaystyle a_n \)種﹐而經\(n\)次跳動到達\(A\) 點的路線有 \(\displaystyle b_n \)種 ，試求 \(\displaystyle a_6+b_6\)  。      答: 320+256=576種
A-----------------D
|                        |
|          O           |
|                        |
B-----------------C                                                                             
參考解法: 考慮經 n 次跳動，落在角落(A,B,C,D)的方法數 \(\displaystyle k_n \)                     

首先， \(\displaystyle k_1=4, k_2=4*2=8 \)
\(\displaystyle k_3=2k_2+4k_1=32 \)

這是因為第 3 次跳到角落的方法數 \(\displaystyle k_3 \)有 2 個來源 :
1. 第 2 次就在角落，又跳到角落，有 \(\displaystyle 2k_2 \)種
2. 第 2 次在中心(即 O 點)，再跳到角落，有 \(\displaystyle k_1*1*4=4k_1 \) 種，
其中 \(\displaystyle k_1*1 \) 表示第 2 次在中心的方法數，由第 1 次在角落的方法數乘以1而來 !

因此， \(\displaystyle k_n=2k_{n-1}+4k_{n-2},n=3,4,5,6,... \)
而且滿足 \(\displaystyle \frac{k_n}{4}=b_n \) (4個角落為對稱情形)， \(\displaystyle k_{n-1}=a_n \)

因為 \(\displaystyle <k_n>=4,8,32,96,320,1024,... \)
故 \(\displaystyle a_6+b_6=k_5+\frac{k_6}{4}=320+\frac{1024}{4}=320+256=576 \)