請問第3題第5題第9題  證明第1題如何做?

填充題第 3 題
\(log_4(x+2y)+log_4(x-2y)=1\)，求\(|\;x|\;-|\;y|\;\)的最小值為？
[解答]
\((x+2y)(x-2y)=4\Rightarrow \displaystyle \frac{x^2}{4}-y^2=1\)

且 \(x+2y>0,x-2y>0\)

亦即 \((x,y)\) 為落在圖形中右葉的雙曲線上的點

因為所求 \(|x|-|y|\) 中，\(x,y\) 變號後帶入結果不便，

且右葉圖形上下對稱，不失一般性可假設 \(x\geq0, y\geq 0\)

求雙曲線在第一象限的點帶入 \(x-y\) 後所得的最小值及為所求。

先找出 \(\displaystyle \frac{x^2}{4}-y^2=1\) 的切線中斜率為 \(1\) 者為 \(y=1\cdot x \pm\sqrt{4\cdot1^2+(-1)}\)

因此，右葉雙曲線中斜率為 \(1\) 者為 \(y=x-\sqrt{3}\Rightarrow x-y=\sqrt{3}\)

與右葉雙曲線有交點且斜率為 \(1\) 的直線 \(x-y=k\) 中，

當 \(k\) 有最小值時，即為直線在最左邊者，

此即為 \(x-y=\sqrt{3}\)

因此，\(\sqrt{3}\) 即為所求。

填充題第 5 題
一圓\(x^2+y^2+kx+2y+k^2=0\)，\(P(1,2)\)可對圓作兩條切線，則\(k\)的範圍為？
[解答]
自 P 對圓可做兩條切線，

此同義於「P位在圓的外部」

因此將 P 點帶入圓方程式，需改成＞０

再解 \(k\) 的範圍即可。

填充題第 9 題：
有20節車廂，其中5節有廁所，規定每個廁所之間至少要間隔2個車廂，則車廂有幾種排列方法？
[解答]
五間廁所，如下所列：

　　　廁　廁　廁　廁　廁

每個廁所間至少要放兩個無廁車廂～

　　　廁　無無　廁　無無　廁　無無　廁　無無　廁

因此，還剩下 \(15-8=7\) 個無廁車廂要放入由５個隔板（啊～是廁所～：Ｐ）所隔成的六個區域中，

共有 \(H^6_7=792\) 種方法。



註：感謝 wooden 於後方回覆提醒小弟的計算錯誤，現已修正。哈。

瑋岳兄,你粗心了,H(6,7)=792

請問 第1題, 不等式等號成立時, x=1, y=sqrt(5), z=2 應如何求呢?

第 1 題
\(x\)、\(y\)、\(z\)為正實數，則\(\displaystyle \frac{xy+2yz}{x^2+y^2+z^2}\)的最大值為？
[解答]
等號成立的條件：

當解答中的兩個算幾不等式成立時，

\(\displaystyle x=\frac{y}{\sqrt{5}}, \frac{2y}{\sqrt{5}}=z\)

\(\displaystyle \Rightarrow x:y:z=1:\sqrt{5}:2\)

令 \(\displaystyle x=t, y=\sqrt{5}t, z=2t\) ，其中 \(t\) 為非零實數，

則解答中的兩個算幾不等式都會成立。

所以 x=1, y=sqrt(5), z=2 只是其中的一解?

是的。(對於不等式的等號，這題也只需要"存在性"，至少有一組解會滿足等號就可以了。)

第五題 的題目是不是有問題啊？因為代進去之後是恆正啊