只有填充題部份8題
如附件

1.
自然數中，若含有比5大的質因數，則把他去掉，剩下的自然數由小到大排成一數列\(\langle\;b_n\rangle\;=\langle\;1,2,3,4,5,6,8,\ldots\rangle\;\)，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{b_n}=\)　　　
[解答]
原式=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)=15/4

8.
\(\displaystyle S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{10000}}\)，則\([S]=\)　　　([]為高斯符號)
[提示]
94台南一, 97省四區口試, 各校教甄常考題


補一下3,5,6的想法
3.
以\(x^2+4y^2=12\)的焦點為焦點，且過直線\(L\)：\(x-y+9=0\)的一點\(M\)作一橢圓。欲使橢圓的長軸最短，則橢圓的方程式為　　　。
[解答]
設此橢圓Γ：x^2 /(12+t)+y^2 /(3+t)=1, t實數, 其兩焦點F(3,0), (-3,0)
L：y=x+9
Γ, L相切時，橢圓長軸最短
=> 斜率為1的切線y=1*x+-sqrt[(12+t)*1^2+(3+t)]
=> sqrt[(12+t)*1^2+(3+t)]=9
=> 2t+15=81, t=33
=> Γ：x^2 /45+y^2 /36=1

5.
正八面體\(ABCDEF\)的邊長為2，如圖，已知\(A\)為原點，\(ADE\)為\(xy\)平面上的點，\(B\)為\(yz\)平面上的點，則點\(B\)到\(y\)軸的距離=　　　。
[解答]
設正八面體任兩相鄰面所夾二面角為θ
=> cosθ=(3+3-8)/[2*sqrt(3)*sqrt(3)]=-1/3, sinθ=2sqrt(2) /3
所求=sqrt(3)sinθ=2sqrt(6) /3

6.
兩正方形\(ABCD\)與\(EFGH\)邊長均為1，其中\(ABCD\)固定平放在直線\(L\)上，如圖所示。若正方形\(EFGH\)之一頂點\(H\)在\(\overline{CD}\)上移動，且另一頂點\(G\)在直線\(L\)上移動，當\(\overline{BE}=\overline{BF}\)時，\(\overline{CG}=\)　　　
[解答]
因BE=BF, 所以B在EF中垂線上
=> B在HG的中垂線上 => BH=BG
設CG=a, CH=b
=> 1+b^2=BH^2=BG^2=(1+a)^2
=> b^2=a^2+2a, a^2+b^2=1
=> 2a^2+2a-1=0
=> a=[-1+sqrt(3)]/2

7.
求首項係數為2，且滿足\( 4f(1)=3f(2)=2f(3)=f(4) \)的三次多項式\( f(x) \)？
[解答]
\( f(1):f(2):f(3):f(4)=3:4:6:12 \)
\( \matrix{f(0) & & f(1) & & f(2) & & f(3) &  & f(4) \cr
0 & & 3 & & 4 & & 6 & & 12 \cr
& 3 & & 1 & & 2 & & 6 & \cr
& & -2 & & 1 & & 4 & &  \cr
& & & 3 & & 3 & & &  } \)
\( \displaystyle C_0^n \times 0+C_1^n \times 3+C_2^n \times -2+C_3^n \times 3=\frac{1}{2}n^3-\frac{5}{2}n^2+5n \)
但首項係數要為2，同乘4倍得\( 2n^3-10n^2+20n \)

8.
\( \displaystyle S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)，則[S]=？
看完題目請在5秒鐘內把\( 2 (\sqrt{10000}-1)=198 \)填入空格
歷屆試題請見https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

第7題bugmens大的作法(祕招)我參不透(為何可設f(0)=0？), 只好土法煉鋼
我是先設f(1)=3t, f(2)=4t, f(3)=6t, f(4)=12t
作三次差分
3t　4t　6t　12t
　t　 2t　 6t
　　t　  4t
　　　3t
得3t=constant=12 (相當於將f微三次)
=> t=4
再利用牛頓插值法
令f(x)=2(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d
由f(1)=12, f(2)=16, f(3)=24解得b=2, c=4, d=12
=> f(x)=2x^3-10x^2+20x

第2題只算出2，1/2不知如何算出？

我也只算出2, 看不出為何有1/2

第四題有人可以提示一下嗎？謝謝！

第2題
已知\(\displaystyle A(a,b),B(-a,b),C(0,\frac{1}{2})\)為橢圓\(\Gamma\)：\(x^2+4y^2=1\)上的三點，若過\(A,B,C\)三點的圓半徑為\(r\)，則\(\displaystyle \lim_{a\to 0}r=\)　　　。
[解答]
當A,B兩點逼近短軸下方頂點時,r-->1/2

剛剛算了一下
逼近短軸下方頂點時
r還是2 (其實由對稱性答案應該和上方頂點一樣)
您要不要再check一下？
－－－－－－－－－－－

100.6.4

謝謝chu1976大的提醒
我知道我的盲點在那裡了
我一直以為a -> 0, 等價於A->C, B->C(也可算是受圖形誤導), 故b->1/2
實際上應該是a -> 0 <=> b -> +-1/2
所以這題答案2或1/2沒錯
昨天還以為答案有誤呢

4.
已知曲線\(f(x)=x^4+4x^3-16x^2+6x-5\)在\(x=s\)與\(x=t\)(其中\(s\ne t\))時的切線重合，求\(|\;s-t|\;=\)　　　
[解答]
過(s, f(s))的切線為y=f(s)+f'(s)(x-s)
與y=f(x)=x^4+4x^3-16x^2+6x-5在x=s,t 各有兩切點
故x^4+4x^3-16x^2+[6-f'(s)]x-5-f(s)+sf'(s)=[(x-s)(x-t)]^2=x^4-2(s+t)x^3+(s^2+t^2+4st)x^2+... (因s,t分別為兩重根)
比較係數得
s+t=-2, (s+t)^2+2st=-16 => st=-10
=> |t-s|=sqrt[(t+s)^2-4st]=sqrt(44)=2sqrt(11)