第8題:
有一個大正方體由27個小正方體所組成，今有一個平面垂直且平分大正方體內部之對角線，試問該平面與幾個單位立方體相交?

我是考慮不會被"切到"的小正方形，平面的上下各有4個，原因如下:

假設每個小正方形的邊長是1，考慮平面之某一側正方體，距離平面最遠的端點叫做 A，通過 A點 而與此平面平行的平面叫做 E

則 A點 到 平面 的距離是 \(d=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

"角落正方體的底端" 到 A點 的距離為 \(\sqrt{3}<d\)，所以不會切到

"角落正方體的3個相鄰正方體的底端" 到 E 的距離為 \(s=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=d\)，所以有切點，但不會切出截面積

"'其他的小正方形的底端" 到 E 的距離均大於 \(s\)，而 \(s=d\)，所以都會切出截面

因此平面的某一側只有4個小正方體沒有被切出截面，總共就是8個沒被切出截面

於是，被切出截面的正方體數量 = 27-8=19


但題目的意思若是相交(交於一點也算數)，則有 27-2=25 個小正方體與平面相交。

[ 本帖最後由 Joy091 於 2012-2-9 01:39 PM 編輯 ]

這一題已經參考版上老師提供的方法求x+y的範圍去算，也得到最大值27最小值2。
只不過自己鐵齒，硬是想利用平移和旋轉的方式練習一下。
可是平移旋轉之後
自己求出的橢圓是(x^2/8)+(y^2/24)=1，得到最大值24最小值8
不知道是自己算錯還是不可以用這個方法，可否請老師幫忙看一下?謝謝

你把已知條件給的橢圓先平移、後旋轉，

卻忘了把題目要求的 \(x^2+y^2\) 經過先平移成 \((x-1)^2+(y-1)^2\) 之後，

其中心點變成〝非原點〞，

所以旋轉也會改變位置，

變成求 \(\displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2\) 的最大值與最小值 。




已知 \(\displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{24}=1\)，

求 \(\displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2\) 的最大值與最小值。

剩下就～～～ \(\displaystyle \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{24}=1\Rightarrow y^2=24-3x^2\)

將其帶入 \(\displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2\)，

再配方成 \(\displaystyle -2\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+27\) 後，即可得最大值 \(27\) 與最小值 \(2\)

（注意 \(x\) 範圍：\(-2\sqrt{2}\leq x\leq2\sqrt{2}\)）。

有人能解第11題嗎,謝謝

第 11 題：

\(\log_4\left(x+2y\right)+\log_4\left(x+2y\right)=1\)

\(\Rightarrow x^2-4y^2=4\) 且 且 \(x+2y>0,x-2y>0\)

滿足上述條件的圖形是右葉的雙曲線

　　　

qq.png (13.46 KB)

2012-4-16 09:12

所求 \(|x|-|y|\) 不失一般性可假設 \(x\geq0, y\geq0\)，

則 \(|x|-|y|=x-y\) 欲求最小值，且 限制條件為雙曲線 \(x^2-4y^2=4\) 在第一象限部分

令 \(x-y=k\Rightarrow y=x-k\)

而 \(x^2-4y^2=4\) 的斜率為 \(1\) 的切線為 \(y=1\cdot x\pm\sqrt{4\cdot1^2-1}\Rightarrow y=x\pm\sqrt{3}\)

其中與雙曲線於於第一象限相切的切線為 \(y=x-\sqrt{3}\Rightarrow x-y=\sqrt{3}\)

可得所求之最小值為 \(\sqrt{3}.\)

我不曉得我寫的對不對...
我只算了一次...
不曉得對錯...
又懶得再算...
麻煩大家看看或分享...
謝謝~~

100慈.JPG (24.05 KB)

2012-4-17 21:41

不一樣的部分
1. \( x>0 \) 的情況是 \( \frac{\sqrt 5 -1}{2}<x<3 \)
應該只是計算錯誤

7. \( \frac{22}{27} \)
那幾顆球都一樣大，四個面外面各一顆，內部也一顆，應該要扣 5 顆
從你的答案推測，應該是少扣一顆了

13. \( \frac{1}{4} \)

3. \( \frac{9}{16} \)

參考一下，說不定是我算錯...

填充3  小弟也是算  \( \frac{9}{16}  \)  想法：將圖形投影到yz平面就可以找出兩圓半徑

順便想請問一下填充13的算法，謝謝

13 題，微分是區部的操作，所以只要了解在那個點附近函數的狀況就好了

當 \( x \) 在 \( \frac32 \) 附近時，\( [x] =1 \) ，而且 絕對值裡頭是負的，所以

\( f(x) = (\frac14 x^2 -x )\cdot (-1) \) 當 \( x \) 在 \(\frac32 \) 附近時

微分得 \( 1 -  \frac x2 \) ， \( x =\frac32 \) 代入得 \( \frac14 \)

原來如此，我了解了，感謝tsusy老師