第8題:
有一個大正方體由27個小正方體所組成，今有一個平面垂直且平分大正方體內部之對角線，試問該平面與幾個單位立方體相交?

我是考慮不會被"切到"的小正方形，平面的上下各有4個，原因如下:

假設每個小正方形的邊長是1，考慮平面之某一側正方體，距離平面最遠的端點叫做 A，通過 A點 而與此平面平行的平面叫做 E

則 A點 到 平面 的距離是 d=233 

"角落正方體的底端" 到 A點 的距離為 3d ，所以不會切到

"角落正方體的3個相鄰正方體的底端" 到 E 的距離為 s=3+23=d ，所以有切點，但不會切出截面積

"'其他的小正方形的底端" 到 E 的距離均大於 s，而 s=d，所以都會切出截面

因此平面的某一側只有4個小正方體沒有被切出截面，總共就是8個沒被切出截面

於是，被切出截面的正方體數量 = 27-8=19


但題目的意思若是相交(交於一點也算數)，則有 27-2=25 個小正方體與平面相交。

[ 本帖最後由 Joy091 於 2012-2-9 01:39 PM 編輯 ]

這一題已經參考版上老師提供的方法求x+y的範圍去算，也得到最大值27最小值2。
只不過自己鐵齒，硬是想利用平移和旋轉的方式練習一下。
可是平移旋轉之後
自己求出的橢圓是(x^2/8)+(y^2/24)=1，得到最大值24最小值8
不知道是自己算錯還是不可以用這個方法，可否請老師幫忙看一下?謝謝

你把已知條件給的橢圓先平移、後旋轉，

卻忘了把題目要求的 x2+y2 經過先平移成 (x−1)2+(y−1)2 之後，

其中心點變成〝非原點〞，

所以旋轉也會改變位置，

變成求 x+22+y2  的最大值與最小值 。




已知 8x2+y224=1，

求 x+22+y2  的最大值與最小值。

剩下就～～～ 8x2+y224=1y2=24−3x2

將其帶入 x+22+y2 ，

再配方成 −2x−122+27  後，即可得最大值 27 與最小值 2

（注意 x 範圍：−22x22 ）。

有人能解第11題嗎,謝謝

第 11 題：

log4x+2y+log4x+2y=1 

x2−4y2=4 且 且 x+2y0x−2y0

滿足上述條件的圖形是右葉的雙曲線

　　　

qq.png (13.46 KB)

2012-4-16 09:12

所求 x−y 不失一般性可假設 x0y0，

則 x−y=x−y 欲求最小值，且 限制條件為雙曲線 x2−4y2=4 在第一象限部分

令 x−y=ky=x−k

而 x2−4y2=4 的斜率為 1 的切線為 y=1x412−1y=x3 

其中與雙曲線於於第一象限相切的切線為 y=x−3x−y=3 

可得所求之最小值為 3 

我不曉得我寫的對不對...
我只算了一次...
不曉得對錯...
又懶得再算...
麻煩大家看看或分享...
謝謝~~

100慈.JPG (24.05 KB)

2012-4-17 21:41

不一樣的部分
1. x0 的情況是 25−1x3 
應該只是計算錯誤

7. \frac{22}{27}
那幾顆球都一樣大，四個面外面各一顆，內部也一顆，應該要扣 5 顆
從你的答案推測，應該是少扣一顆了

13. \frac{1}{4}

3. \frac{9}{16}

參考一下，說不定是我算錯...

填充3  小弟也是算   \frac{9}{16}    想法：將圖形投影到yz平面就可以找出兩圓半徑

順便想請問一下填充13的算法，謝謝

13 題，微分是區部的操作，所以只要了解在那個點附近函數的狀況就好了

當 x 在 \frac32 附近時， [x] =1 ，而且 絕對值裡頭是負的，所以

f(x) = (\frac14 x^2 -x )\cdot (-1) 當 x 在 \frac32 附近時

微分得 1 -  \frac x2 ， x =\frac32 代入得 \frac14

原來如此，我了解了，感謝tsusy老師