計算題第 6 題
第一小題，
令 \(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2},\)
\(f(x) = \left(1+x\right)^{3k}=C^{3k}_0+C^{3k}_1 x+C^{3k}_2 x^2+\cdots+C^{3k}_{3k} x^{3k},\)
則
\(\displaystyle A= f(x)\mbox{ 之中 } x \mbox{ 的 } 0,3,6 \cdots { 次方項的係數和}\)
\(\displaystyle =\frac{f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)}{3}\)
\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+(1+\omega)^{3k}+(1+\omega^2)^{3k}}{3} \)
\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+(-\omega^2)^{3k}+(-\omega)^{3k}}{3}\)
\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+(-1)^{3k}+(-1)^{3k}}{3}\)
\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+2\cdot(-1)^{3k}}{3}\)
\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+2\cdot(-1)^{k}}{3}\)
\(\displaystyle B=x^2\cdot f(x)\mbox{ 之中 } x \mbox{ 的 } 0,3,6 \cdots { 次方項的係數和}\)
\(\displaystyle =\frac{1\cdot f(1)+\omega^2\cdot f(\omega)+\omega^4\cdot f(\omega^2)}{3}\)
\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+\omega^2(1+\omega)^{3k}+\omega^4(1+\omega^2)^{3k}}{3} \)
\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+\omega^2(-\omega^2)^{3k}+\omega(-\omega)^{3k}}{3}\)
\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+\omega^2(-1)^{3k}+\omega(-1)^{3k}}{3}\)
\(\displaystyle =\frac{2^{3k}+\omega^2(-1)^{k}+\omega(-1)^{k}}{3}\)
所以，
\(\displaystyle A-B=\frac{(-1)^k\cdot(2-\omega^2-\omega)}{3}\)
\(\displaystyle =\frac{(-1)^k\cdot\left[3-\left(1+\omega+\omega^2\right)\right]}{3}\)
\(\displaystyle =(-1)^k\)
當 \(k\) 為偶數時，\(\displaystyle A-B=1.\)
當 \(k\) 為奇數時，\(\displaystyle A-B=-1.\)
所以，當 \(k\) 為奇數時，\(A<B\)；當 \(k\) 為偶數時，\(A>B.\)
第二小題，
\(\displaystyle A=\frac{2^{3k}+2\cdot(-1)^{k}}{3}\)
註：感謝老王老師指點～讓這個答案＆過程都變得更簡潔！超感激！^____^
