\(\sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2}\)
求解x
我用了兩次平方消去了所有根號得
\(64x^6-128x^4+80x^2-15=0\)
確實可以解出解答\(x=\sqrt{10-2\sqrt{5}}/4\)
但這麼做也會多出其他根必需代回原式檢驗...
而且上式因式分解也不容易一眼看出如何分解
想請教大家有沒有其他更好的解法？

你可以用\( x=cos \theta \)替換掉
類似題目請見
https://math.pro/db/thread-21-1-3.html

101.1.1補充
已知有A,B,C三件商品，其價格總和是100元，且每一件商品的價格均為正整數。若一件商品A比二件商品B貴，三件商品B比四件商品C貴，三件商品C比一件商品A貴，則商品A的價格為？

方程式\( \sqrt{1-x}=2x^2-1+2x \sqrt{1-x^2} \)的解\( x= \)

99 附中填充 4 也是利用同樣的代換

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=935&page=1#pid2021

非常感謝！
我忽略了 \(\sqrt{1-x^2}\) 還有個自然條件 \(x\in[-1,1]\)

設\(\alpha\)為正實數，且\( \root{3} \of{2+\sqrt{\alpha}}+\root{3} \of{2-\sqrt{\alpha}} \)為一正整數，則\( \alpha\)的值為　　　？

請教這題，答案5或100／27

\(\begin{align}
  & a=\sqrt[3]{2+\sqrt{\alpha }},b=\sqrt[3]{2-\sqrt{\alpha }} \\
& {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=4,ab=\sqrt[3]{4-\alpha } \\
& {{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right) \\
& 4={{\left( a+b \right)}^{3}}-3\sqrt[3]{4-\alpha }\left( a+b \right) \\
& \alpha =4-{{\left[ \frac{{{\left( a+b \right)}^{3}}-4}{3\left( a+b \right)} \right]}^{3}}>0 \\
& {{\left[ \frac{{{\left( a+b \right)}^{3}}-4}{3\left( a+b \right)} \right]}^{3}}={{\left[ \frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{3}-\frac{4}{3\left( a+b \right)} \right]}^{3}}<4 \\
& a+b\ \in \ N \\
& a+b=1\ or\ 2 \\
& \alpha =5\ or\ \frac{100}{27} \\
\end{align}\)

謝謝

請問上面答案只有一組嗎，我的算法多出好幾組，不知道哪裡出錯了
令\(x=\cos\theta\Rightarrow\sqrt{1-\cos\theta}=(2\cos^2\theta-1)+2\cos\theta\sqrt{1-\cos^2\theta}=\cos2\theta+\sin2\theta\)
\(\displaystyle\Rightarrow1-\cos\theta=1+\sin4\theta\Rightarrow\sin4\theta=-\cos\theta=\sin\left(\frac{3}{2}\pi-\theta\right)\)
\(\displaystyle\Rightarrow4\theta=\left(\frac{3}{2}\pi-\theta\right)+2k\pi\)，\(k\in\mathbb{Z}\)
\(\displaystyle\Rightarrow\theta=\frac{3}{10}\pi+\frac{2}{5}k\pi\)
\(\theta=54^\circ+72^\circ k\)
\(\theta=54^\circ,126^\circ,\ldots\)

√( 1 - cos²θ )  = ｜sin θ｜