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99高中數學能力競賽

第三區(新竹高中)筆試(二)

\(\sqrt{1-x}=2x^2-1+2x\sqrt{1-x^2}\)
求解x
我用了兩次平方消去了所有根號得
\(64x^6-128x^4+80x^2-15=0\)
確實可以解出解答\(x=\sqrt{10-2\sqrt{5}}/4\)
但這麼做也會多出其他根必需代回原式檢驗...
而且上式因式分解也不容易一眼看出如何分解
想請教大家有沒有其他更好的解法?

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你可以用\( x=cos \theta \)替換掉
類似題目請見
https://math.pro/db/thread-21-1-3.html

101.1.1補充
已知有A,B,C三件商品,其價格總和是100元,且每一件商品的價格均為正整數。若一件商品A比二件商品B貴,三件商品B比四件商品C貴,三件商品C比一件商品A貴,則商品A的價格為?

方程式\( \sqrt{1-x}=2x^2-1+2 \sqrt{1-x^2} \)的解\( x= \)

附件

99高中數學能力競賽新竹區試題.zip (1.82 KB)

2013-1-1 06:59, 下載次數: 8405

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回復 7# Pacers31 的帖子

99 附中填充 4 也是利用同樣的代換

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=935&page=1#pid2021
網頁方程式編輯 imatheq

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非常感謝!
我忽略了 \(\sqrt{1-x^2}\) 還有個自然條件 \(x\in[-1,1]\)

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請問上面答案只有一組嗎,我的算法多出好幾組,不知道哪裡出錯了

附件

IMG_20190725_151252.jpg (237.37 KB)

2019-7-25 15:14

IMG_20190725_151252.jpg

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回復 15# Exponential 的帖子

√( 1 - cos²θ )  = |sin θ|

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