想請教計算題第2題 謝謝

計算題第 2 題
已知數列an滿足2an+1+an=3，且a1=10，設前n項和為Sn，則滿足不等式Sn−n−61250的最小正整數n為何？
[解答]
2an+an−1=3(an−1)=−21(an−1−1)

開始條列～

(an−1)=−21(an−1−1)

(an−1−1)=−21(an−2−1)

(an−2−1)=−21(an−3−1)

　　　　

(a2−1)=−21(a1−1)

將上列各式全部乘起來，

可得 an−1=(−21)n−1(a1−1)=9(2−1)n−1

an=1+9(2−1)n−1

然後，

Sn=n1+1−2−19(1−(2−1)n)

　　=n+6(1−(2−1)n)

因此，

Sn−n−6=6(2−1)n=32n−11250

2n−12503=750

因為 29=512210=1024，所以 n−1 至少為 10，

故，n 至少為 11

我想要問填充第9題和第12題
第9題我有兩個想法 1.幾何圖形解 但是不知所措 2.柯西不等式 但是好像多一個式子 等號不成立
第12題 我將60度拆成兩個角度 再用餘弦定理 但是式子列出來 我就不知道怎麼辦了

填充9
設P(431)，Q為圓x2+(y−1)2+(z−5)2=13x+2y+2z=3 上之動點，求PQ之最小值　　　。
[解答]
這題所求發生在 POGOP皆在同一平面時，

其中 OP 為 OP 在平面 E:x+2y+2z=3 的垂足

其圖如下：

image.png (15.32 KB)

2014-10-19 17:09

令 O'(t,1+2t,5+2t),P'(4+s,3+2s,1+2s) ，代入平面 E 中，求得 t=s=-1  

則 O'(-1,-1,3),P' (3,1,-1) ，求出  \overline{OO'}=\overline{PP'}=3,\overline{O'P'}=6,\overline{O'G}=2

所以 \overline{GP'}=4\Rightarrow \overline{GP}=5

填充12題

將\overline{PQ}連起來，交 \overline{ST} 在 R

因為 \Delta PSR 與 \Delta QTR 相似，若令 \overline{RS}=x ，則  \overline{RT}=2x

再由 \angle PAB=\angle QAB=30^{\circ} ，可知 \overline{AS}=\sqrt{3} 且 \overline{AT}=2\sqrt{3}

所以 \overline{AT}=\overline{AS}+x+2x\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{3}}

再推得 \overline{PR}=2x, ~\overline{RQ}=2x

故 \overline{PQ}=6x=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}

謝謝樓上老師 剛剛才發現第12題 我沒看到\bar{AB}平分那個角

請教填充第一題的想法~ QAQ

填充第 1 題
設\Delta ABC中，已知\overline{BC}與y軸垂直，若A(2,9)，內切圓圓心為(1,1)，半徑為4，則\Delta ABC的垂心H坐標為　　　。
[解答]
易知直線 BC 之方程式為 y = -3
利用 (1，1) 到直線  y - 9 = m(x - 2) 的距離為 4，可求出直線 AB 和直線 AC 之方程式
剩下就簡單了

解出來了，謝謝。^^b
一開始感覺很麻煩，就不敢下手了...。

請問板上老師  第七題   要怎麼拆解呢

算到阿發+beta=323度   tan((阿發+beta)/2)==-1/3  tan((beta-45度)/2)

但是一直作不出sin阿發*cos阿發=???

第7題
已知\displaystyle \frac{3}{4}\pi<\alpha<\pi，\displaystyle \frac{3}{4}\pi<\beta<\pi，且\displaystyle sin(\alpha+\beta)=-\frac{3}{5}，\displaystyle sin(\beta-\frac{\pi}{4})=\frac{12}{13}，則\displaystyle sin(\alpha+\frac{\pi}{4})=　　　。
[提示]
\sin \left( \alpha +\frac{\pi }{4} \right)=\sin \left[ \left( \alpha +\beta  \right)-\left( \beta -\frac{\pi }{4} \right) \right]