想請教計算題第2題 謝謝

計算題第 2 題
已知數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(2a_{n+1}+a_n=3\)，且\(a_1=10\)，設前\(n\)項和為\(S_n\)，則滿足不等式\(\displaystyle |\;S_n-n-6|\;<\frac{1}{250}\)的最小正整數\(n\)為何？
[解答]
\(\displaystyle 2 a_n+a_{n-1}=3\Rightarrow (a_n -1) = -\frac{1}{2}(a_{n-1} -1)\)

開始條列～

\(\displaystyle (a_n -1) = -\frac{1}{2}(a_{n-1} -1)\)

\(\displaystyle (a_{n-1} -1) = -\frac{1}{2}(a_{n-2} -1)\)

\(\displaystyle (a_{n-2} -1) = -\frac{1}{2}(a_{n-3} -1)\)

　　　　\(\cdots\)

\(\displaystyle (a_2 -1) = -\frac{1}{2}(a_1 -1)\)

將上列各式全部乘起來，

可得 \(\displaystyle a_n - 1 = (-\frac{1}{2})^{n-1}(a_1-1) = 9\times(\frac{-1}{2})^{n-1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow a_n = 1+ 9\times(\frac{-1}{2})^{n-1}\)

然後，

\(\displaystyle S_n = n\times1+\frac{9(1-(\frac{-1}{2})^n)}{1-\frac{-1}{2}}\)

　　\(\displaystyle =n+6(1-(\frac{-1}{2})^n)\)

因此，

\(\displaystyle \left|S_n-n-6\right| = \left|6(\frac{-1}{2})^n\right|=\frac{3}{2^{n-1}}<\frac{1}{250}\)

\(\displaystyle \Rightarrow 2^{n-1}>250\times3=750\)

因為 \(2^9=512, 2^{10}=1024\)，所以 \(n-1\) 至少為 \(10\)，

故，\(n\) 至少為 \(11.\)

我想要問填充第9題和第12題
第9題我有兩個想法 1.幾何圖形解 但是不知所措 2.柯西不等式 但是好像多一個式子 等號不成立
第12題 我將60度拆成兩個角度 再用餘弦定理 但是式子列出來 我就不知道怎麼辦了

填充9
設\(P(4,3,1)\)，\(Q\)為圓\(\cases{x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=13 \cr x+2y+2z=3}\)上之動點，求\(\overline{PQ}\)之最小值　　　。
[解答]
這題所求發生在 \(P,O,G,O',P'\)皆在同一平面時，

其中 \(O',P'\) 為 \(O,P\) 在平面 \(E:x+2y+2z=3\) 的垂足

其圖如下：

image.png (15.32 KB)

2014-10-19 17:09

令 \(O'(t,1+2t,5+2t),P'(4+s,3+2s,1+2s) \)，代入平面 \(E\) 中，求得 \(t=s=-1\)  

則 \(O'(-1,-1,3),P' (3,1,-1) \) ，求出  \(\overline{OO'}=\overline{PP'}=3,\overline{O'P'}=6,\overline{O'G}=2\)

所以 \(\overline{GP'}=4\Rightarrow \overline{GP}=5\)

填充12題

將\(\overline{PQ}\)連起來，交 \(\overline{ST}\) 在 \(R\)

因為 \(\Delta PSR \) 與 \(\Delta QTR\) 相似，若令 \(\overline{RS}=x\) ，則  \(\overline{RT}=2x\)

再由 \(\angle PAB=\angle QAB=30^{\circ}\) ，可知 \(\overline{AS}=\sqrt{3}\) 且 \(\overline{AT}=2\sqrt{3}\)

所以 \(\overline{AT}=\overline{AS}+x+2x\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

再推得 \(\overline{PR}=2x, ~\overline{RQ}=2x\)

故 \(\overline{PQ}=6x=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\)

謝謝樓上老師 剛剛才發現第12題 我沒看到\(\bar{AB}\)平分那個角

請教填充第一題的想法~ QAQ

填充第 1 題
設\(\Delta ABC\)中，已知\(\overline{BC}\)與\(y\)軸垂直，若\(A(2,9)\)，內切圓圓心為\((1,1)\)，半徑為4，則\(\Delta ABC\)的垂心\(H\)坐標為　　　。
[解答]
易知直線 BC 之方程式為 y = -3
利用 (1，1) 到直線  y - 9 = m(x - 2) 的距離為 4，可求出直線 AB 和直線 AC 之方程式
剩下就簡單了

解出來了，謝謝。^^b
一開始感覺很麻煩，就不敢下手了...。

請問板上老師  第七題   要怎麼拆解呢

算到阿發+beta=323度   tan((阿發+beta)/2)==-1/3  tan((beta-45度)/2)

但是一直作不出sin阿發*cos阿發=???

第7題
已知\(\displaystyle \frac{3}{4}\pi<\alpha<\pi\)，\(\displaystyle \frac{3}{4}\pi<\beta<\pi\)，且\(\displaystyle sin(\alpha+\beta)=-\frac{3}{5}\)，\(\displaystyle sin(\beta-\frac{\pi}{4})=\frac{12}{13}\)，則\(\displaystyle sin(\alpha+\frac{\pi}{4})=\)　　　。
[提示]
\(\sin \left( \alpha +\frac{\pi }{4} \right)=\sin \left[ \left( \alpha +\beta  \right)-\left( \beta -\frac{\pi }{4} \right) \right]\)