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空間中的曲面(2x+3y+z)^2+(3x-2y+z)^2+(x+3y+2z)^2=1所圍體積為何?

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空間中的曲面(2x+3y+z)^2+(3x-2y+z)^2+(x+3y+2z)^2=1所圍體積為何?

空間中的曲面,\(S:(2x+3y+z)^2+(3x-2y+z)^2+(x+3y+2z)^2=1\) 所圍出的體積為多少??

解答:

令 \(p=2x+3y+z, q=3x-2y+z, r=x+3y+2z\)

\(p^2+q^2+q^2=1\) 所圍區域是個球~半徑為 \(1\),體積為 \(\displaystyle \frac{4}{3}\times\pi\times 1^3=\frac{4\pi}{3}\)

因為 \(\displaystyle \left[\begin{array}{c}p\\q\\r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2&3&1\\3&-2&1\\1&3&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]\)

所以,所求體積=\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4\pi}{3}}{\Bigg|\left|\begin{array}{ccc}2&3&1\\3&-2&1\\1&3&2\end{array}\right|\Bigg|}=\frac{1}{18}\times\frac{4\pi}{3}=\frac{2\pi}{27}.\)

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