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求與橢圓x^2/9 +y^2/4=1相切且互相垂直的兩切線交點軌跡

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求與橢圓x^2/9 +y^2/4=1相切且互相垂直的兩切線交點軌跡

想請教板上的各位大大,不知道此題該如何用比較簡易的方式可以快速的讓高中生了解
題目如下:
       求與橢圓x^2/9 +y^2/4 =1相切且互相垂直的兩切線交點之軌跡方程式


雖然小弟用硬算的方式有得到解答,但是實在覺得太累了
故還請大家不吝賜教!!!

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引用:
原帖由 coabelian 於 2012-1-9 09:47 AM 發表
想請教板上的各位大大,不知道此題該如何用比較簡易的方式可以快速的讓高中生了解
題目如下:
       求與橢圓x^2/9 +y^2/4 =1相切且互相垂直的兩切線交點之軌跡方程式


雖然小弟用硬算的方式有得到解答,但是實在覺得太 ...
這個軌跡叫"蒙日圓"
是一位法國幾何學家:蒙日(G.Monge,1746-1818)發現的
當時是否用下面方式來證,就不得而知了
(若是知道的網友請補充)

假設L1,L2為互相垂直的兩切線,其率斜率分別為m,-1/m(不是水平線,也不是垂直線)
則 L1: y=mx+(9*m^2+4)^0.5 ----------------(1)
L2: y=(-1/m)x +(9*(-1/m)^2+4)^0.5-------------(2)

(1)=>  y-mx=(9*m^2+4)^0.5---------------(3)
(2)=>  my+x=(9+4*m^2)^0.5---------------(4)

(3)^2+(4)^2 得 (y-mx)^2+(my+x)^2 =9(m^2+1)+4(m^2+1)
(x^2+y^2)*(m^2+1)=13*(m^2+1)
解得x^2+y^2=9+4=13-------------(*)
又當L1為垂直線或水平線,與L2的交點為
(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2)均為(*)的解

所求軌跡為一圓,其方程式為x^2+y^2=13

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-1-10 09:56 AM 編輯 ]

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回復 2# Ellipse 的帖子

感謝Ellipse大大的精闢解法!!!
整個豁然開朗!!!!
感恩感恩!!!!

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回復 2# Ellipse 的帖子

有個小筆誤

斜率的部分少了一個負號

這樣平方展開相加,交叉項才會消掉

記得數學傳播裡有某篇專談這類軌跡問題的

找了一下 http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d292/29202.pdf

不過該主要是探討數學的嚴謹性,有興趣的再看看吧
文不成,武不就

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引用:
原帖由 tsusy 於 2012-1-10 09:40 AM 發表
有個小筆誤

斜率的部分少了一個負號

這樣平方展開相加,交叉項才會消掉

記得數學傳播裡有某篇專談這類軌跡問題的

找了一下 http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d292/29202.pdf

不過該主要是探討數學的嚴謹 ...
感謝更正
那時急著趕去上課
所以很匆忙打完
後來又沒再檢查一次

不過"蒙日"圓這個名詞
之前都沒有看過相關的文章說是誰做出來的
這方面網路的介紹很少

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回復 5# Ellipse 的帖子

剛剛網路搜尋了一下,似乎 director circle, Fermat–Apollonius circle, orthoptic circle, or Monge circle 似乎都有人稱之[1,2]

相關參考資料:

 1. Director circle: http://en.wikipedia.org/wiki/Director_circle

 2. Monge Circle: http://www.math.umt.edu/tmme/vol2no2/TMMEv2n2a1.pdf






另外,如果有支援 Java 程式的話,

中二中的楊澤璿老師的網站【閱讀橢圓】→【變化試題】上的第三個問題(如下連結),

   http://apollonius.math.nthu.edu. ... out-ellipse)-ex.htm

有動態的展示。


其他相關資料(拋物線的兩互相垂直切線的交點軌跡、雙曲線的兩互相垂直切線的交點軌跡):https://math.pro/db/thread-723-1-1.html

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