多項式的題目，巴貝奇定理的縮小版。

weiye

瑋岳

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1^# 大中小發表於 2009-2-3 17:32 只看該作者

多項式的題目，巴貝奇定理的縮小版。

已知 f(x)＝ax2+bx+c 的圖形通過三個點 A(102

205)

B(103

208)

C(105

213)，

1. 證明　f(x+2)－2f(x+1)+f(x) 恆為定值。

2. 求 1. 之定值。

解答：

1.

令 g(x)＝f(x+1)－f(x)，

因為 f(x) 多項式的次數至多為二次，

所以 g(x) 多項式的次數至多為一次，

⇒　g(x+1)－g(x) 為常數多項式，

亦即 g(x+1)－g(x)＝f(x+2)－2f(x+1)+f(x) 為常數.

（補充：
　　　　如果繼續令 h(x)＝g(x+1)－g(x)，可得 h(x+1)－h(x)＝0

　　　　亦即 f(x+3)－3f(x+2)+3f(x+1)－f(x)＝0 恆成立。

　　　　推廣可得如下定理，龍騰版的教師手冊稱此為巴貝奇定理（refer to Charles Babbage）：

　　　　對任意 n 次多項式 f(x)，設 d 為非零常數，則

　　　　C(n+1

0)f(x+（n+1）d)－C(n+1

1)f(x+nd)+C(n+1

2)f(x+（n－1）d)

　　　　　　－‧‧‧+(－1)n+1

C(n+1

n+1)f(x)＝0　恆成立，
　
　　　並且

　　　　C(n

0)f(x+nd)－C(n

1)f(x+（n－1）d)+C(n

2)f(x+（n－2）d)

　　　　　　－‧‧‧+(－1)n

C(n

n)f(x)＝（n！）（f(x) 的首項係數）

）

2.

令 f(x+2)－2f(x+1)+f(x)＝k 為定值，將 x 以 102

103 帶入可得

　　f(104)－2f(103)+f(102)＝k　且　f(105)－2f(104)+f(103)＝k

⇒ 　f(104)－k＝211　且　2f(104)+k＝421

解聯立方程式，可得　f(104)＝3632，k＝－31

多喝水。

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bugmens

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2^# 大中小發表於 2009-2-3 18:27 只看該作者

補充,這裡也有類似的題目
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=48958#post211903　連結已失效
f(x)=ax2+bx+c
且f(2007)=4015，f(2008)=4018，f(2010)=4023
求f(x+2)−2f(x+1)+f(x)=？

105.4.24補充
f(x)是二次多項式，若實數a