一、填充題
5.
空間向量\((-8+4s+2t,3+s-3t,27+5s+t)\)的長度最小值為
。
類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957
6.
如右圖，\(\triangle PQR\)為正三角形，\(A\)、\(B\)、\(C\)分別落在\(\overline{QR}\)、\(\overline{PR}\)、\(\overline{PQ}\)邊上，且\(\triangle ABC\)中，\(\angle ACB = 90^\circ\)若 \(\overline{AQ}=4\)，\(\overline{CQ}=5\)，\(\overline{AB}=7\)，則\(\overline{PC}=\)
。（圖形僅供參考）
8.
空間中，兩點\(A(1,-2,-1)\)、\(B(3,1,0)\)，一平面 \(E:2x-y-2z-1=0\)，若\(E\)上一點\(P\)使\(\overline{AP}^2+\overline{BP}^2\) 有最小值\(M\)時，\(P\)點的座標為\((x_0,y_0,z_0)\)，則\((M, x_0, y_0, z_0)=\)
。
空間中有三個點\(A(-1,2,5)\)，\(B(-2,1,2)\)，\(P(0,b,c)\)，則\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2 \)的最小値為
(100彰化藝術高中田中高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=3#pid3750)
9.
在\(xy\)平面上，點集合\(F=\{ (x,y) \mid |2x + y|+|x - 3y|\le 8\}\)所形成的區域面積為
。
(類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2264&page=3#pid13904)
10.
設\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\)，則\(\displaystyle \lim_{n \to\infty}\frac{4\sin^n\theta-5\cos^n\theta}{3\sin^n\theta+ 7\cos^n\theta}\) 所有可能的值為
。
11.
平面上一橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，將\(\Gamma\)繞原點逆時針旋轉\(\displaystyle \theta (0^\circ<\theta<90^\circ)\) 後得到橢圓\(\Gamma_1\)，其中\(\displaystyle \cos \theta=\frac{3}{5}\)，若\(\Gamma_1\)與\(\Gamma\)交四點，則此四點逆時針依序連接成的四邊形面積為
。
平面上有兩個橢圓，其中一個橢圓為\( Γ_1 \)：\( x^2+2y^2=1 \)，另一個橢圓\( Γ_2 \)為\( Γ_1 \)繞原點逆時針旋轉\( 60^o \)。已知這兩個橢圓相交於四個點，逆時鐘順序依次連成一個四邊形，請問該四邊形的面積？
(100文華高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1095&page=1#pid2992)
13.
若\(a,b \in\mathbb{R}\)且滿足以下兩條件：①\(a+b\in\mathbb{Z}\)；②\(\displaystyle\frac{a+b}{a^2+ab+b^2}=\frac{3}{32}\)，則 \(a+b\)最大可能的值為
。
14.
等腰梯形\(ABCD\)中，\(M\)、\(N\)分別為兩腰\(\overline{AB}\)、\(\overline{CD}\)中點，若已知對角線\(\overline{AC}=7\)，且\(\vec{AC}\cdot\vec{MN}=13\)，則等腰梯形\(ABCD\)的面積為
。
15.
若方程式\(x^4+2\sqrt{3}(\log_3 k)x^2+2-(\log_3 k)^2=0\)有四個相異實根，則實數\(k\)的範圍為
。
若\(x^4+2\sqrt{3}(log_2k)x^2+1-(log_2k)^2=0\)有四個相異實根，則\(k\)的範圍為
。
(102新化高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1710&page=2#pid9386)
16.
現有一堆數量為\(n\)的白色圍棋棋子，重複以下步驟至分成\(n\)堆數量為\(1\)的棋子：
(1)將數量不是1的棋子分成兩堆；
(2)求剛分成兩堆棋子數量的乘積。
最後求所有乘積的總和為 \(k\)。
例如：有一堆數量為4的棋子，先分成2,2兩堆，得乘積4；再將其中一堆分成1,1兩堆，得乘積1；再將最後一堆數量為2的分成1,1兩堆，得乘積1。所有乘積的總和為\(4+1+1=6\)。
若 \(k > 2026\)，則 \(n\) 最小值為
。
二、計算證明題
1.
求數列\(\begin{cases} a_1=1 \\ a_n=2a_{n-1}+n \end{cases}, n\ge 2\) 的一般項 \(a_n=\)
。(答案以\(n\)表示)
設數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)的遞迴關係式為\(\cases{a_1=1 \cr a_n=2a_{n-1}+n}\)，試求一般項\(a_n\)。
(112新竹高中代理，
https://math.pro/db/thread-3765-1-1.html)
(我的教甄準備之路 求數列一般項，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507)
2.
若複數\(\alpha,\beta,\gamma\)滿足\(|\alpha|=|\beta|=|\gamma|=1\)，試證明\(\displaystyle\frac{(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)}{\alpha\beta\gamma}\)為實數。
