計算 10(1)
依題意有以 \( x=\alpha,\beta,\gamma \) 為三根的方程式為
\( (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^{3}+tx^{2}+vx+1=0 \)
考慮以 \( \alpha^{\frac{1}{3}},\beta^{\frac{1}{3}},\gamma^{\frac{1}{3}} \)
為三根的方程式 \( y^{3}+ay^{2}+by+1=0 \)
\( \Rightarrow y^{3}+1=-y(ay+b) \)
\( \Rightarrow(y^{3}+1)^{3}=-y^{3}(ay+b)^{3} \)
\( \Rightarrow(y^{3}+1)^{3}=-y^{3}(a^{3}y^{3}+3ayb(ay+b)+b^{3}) \)
\( \Rightarrow(y^{3}+1)^{3}=-y^{3}(a^{3}y^{3}-3ab(y^{3}+1)+b^{3}) \)
將 \( y^{3} \) 改寫為 \( x \)
\( \Rightarrow(x+1)^{3}=-x(a^{3}x-3ab(x+1)+b^{3}) \)
\( \Rightarrow x^{3}+(3+a^{3}-3ab)x^{2}+(3+b^{3}-3ab)x+1=0 \)
此方程式的三根為 \( x=\alpha,\beta,\gamma \)
故 \( 3+a^{3}-3ab=t \) , \( 3+b^{3}-3ab=v \)
令 \( z=ab \) ，則 \( z^{3}=a^{3}b^{3}=(3z+t-3)(3z+v-3) \)
\( \Rightarrow z^{3}=9z^{2}-27z+(-t^{2}-3t+18) \)
\( \Rightarrow(z-3)^{3}=-(t^{2}+3t+9) \)
故 \( z=3-\sqrt[3]{t^{2}+3t+9} \) , \( a=\sqrt[3]{3z+t-3}=\sqrt[3]{6+t-\sqrt[3]{t^{2}+3t+9}} \)
再由根與係數有 \( \alpha^{\frac{1}{3}}+\beta^{\frac{1}{3}}+\gamma^{\frac{1}{3}}=-a=\sqrt[3]{-(6+t)+\sqrt[3]{t^{2}+3t+9}} \)
10(2) 利用三倍角公式，造成以題意所給三個餘弦為三根的三次多項式方程式，接著使用第(1)小題的結論
※此題出處，可能是101學年全國能力競賽
https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html
