請教幾個問題(機率與極限)

1. 甲乙兩人下棋,平均3局,甲贏2局,乙贏1局,今甲乙兩人賽7局,先贏4局為勝,求甲得勝的機率

   我是這樣想,甲贏4局..(2/3)^4
   乙分贏(0,1,2,3)局
  (2/3)^2x(0+1/3x4!/3! +(1/3)^2x5!/3!2!+(1/3)^3x6!/3!3!)
  不知這樣想法對不對
   或是另有其他想法,

2 假設一架飛機的引擎出現故障的機率為(1-p) (p<1)且引擎是否有故障是獨立的,至少50%的引擎能正常進行
  飛機就可成功飛行,若4引擎比2引擎更安全,求p範圍

3 Lim(n--->無窮大)  (1^5+3^5+....+(2n-1)^5)/n^6

4 f(x)連續且(積分(x-1)-->x)f(t)dt=x^2  x實數   求f(x)

5 求1/C(4,3)+1/C(5,3)+.....+1/C(20,3)


謝謝

#3
Lim(n→∞)  (1^5+3^5+....+(2n-1)^5)/n^6
=Lim(n→∞)  (1/n){ [1/n]^5+[3/n]^5+....+[(2n-1)/n]^5) }
=Lim(n→∞)  (1/n){ [1/n]^5+[2/n]^5+[3/n]^5+....+[(2n)/n]^5) } - Lim(n→∞)  (1/n){ [2/n]^5+[4/n]^5+....+[(2n)/n]^5) }    (要確定收歛才可以這樣拆)
=∫(0 to 2)  x^5 dx - (2^5)*∫(0 to 1)  x^5 dx
=(1/6) *(2^6-0^6) -(32/6)*(1^6-0^6)
=(1/6)*(64-32)
=16/3



#4
f(x)連續且(積分(x-1)-->x)f(t)dt=x^2  x實數   求f(x)=?
對 ∫((x-1)-->x)f(t)dt=x^2    微分
得f(x)-f(x-1)=2x
可設f(x)=ax^2+bx+c   (f(x)只能是多項式形式?有沒有可能是別種函數?)
則f(x)-f(x-1)=ax^2+bx+c -a(x-1)^2-b(x-1)-c=2ax+b-a^2 =2x
比較係數得a=1,b=1,所以f(x)=x^2+x+c代入積分式
解得c=1/6 ,所以f(x)=x^2+x+1/6




#5
1/C(4,3)+1/C(5,3)+.....+1/C(20,3)
=3!/4! +3!*2!/5! +3!*3!/6! +.................+3!*17!/20!
=3![1/(4*3*2)+1/(5*4*3)+1/(6*5*4)+...................+1/(20*19*18)]
=6*(1/2){ [1/(3*2)-1/(4*3)]+[1/(4*3)-1/(5*4)]+[1/(5*4)-1/(6*5)]+.................................+[1/(19*18)-1/(20*19)] }
=3*[1/(3*2)- 1/(20*19)]
=3(1/6-1/380)
=187/380

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-4-19 12:15 AM 編輯 ]

謝謝Ellipse老師

感激不盡

這是我最近整理時發現以前所留
但無答案也無做法

發現自已還需加強
再次謝謝你

#2, #3, #4 100文華高中 https://math.pro/db/thread-1095-1-1.html