請教3個題目

謝謝瑋岳老師解答,   能否冒昧再請教3個題目,感恩!!

103.3.20將題目重新輸入
1.設\( f(a)=g(a)=1 \)，\( f'(a)=g'(a)=2 \)，則\( \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \Bigg[\; \frac{f(a+2h)}{g(a+3h)}-\frac{f(a)}{g(a)} \Bigg]\;= \)？

2.兩曲線\( y=x^3-3x \)與\( y=x^3-3x+32 \)，則求其公切線方程式？

3.過曲線\( y=x^3 \)上一點P有兩條切線，它們分別交x軸於A與B點，若令銳角\( ∠APB=\theta \)，則\( tan \theta \)的最大值？此時\( x= \)？

第 2 題解答請見下面連結：（一模一樣的題目，以前已經被問過兩次了）

https://math.pro/db/thread-1561-1-1.html

第 1 題題目：設 \(f(a)=g(a)=1\) 且 \(f\,'(a)=g\,'(a)=2\)，則 \(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left[\frac{f(a+2h)}{g(a+3h)}-\frac{f(a)}{g(a)}\right]=\)？

解答：

\(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left[\frac{f(a+2h)}{g(a+3h)}-\frac{f(a)}{g(a)}\right]=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left[\frac{f(a+2h)}{g(a+3h)}-\frac{1}{1}\right]\)

　　　　　　\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left[\frac{f(a+2h)-g(a+3h)}{g(a+3h)}\right]\)

　　　　　　\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left[\frac{\left(f(a+2h)-1\right)-\left(g(a+3h)-1\right)}{g(a+3h)}\right]\)

　　　　　　\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\left[\frac{\left(f(a+2h)-1\right)}{h}-\frac{g(a+3h)-1}{h}\right]\frac{1}{g(a+3h)}\)

　　　　　　\(\displaystyle =\lim_{h\to0}\left[2\cdot\frac{\left(f(a+2h)-f(a)\right)}{2h}-3\cdot\frac{g(a+3h)-g(a)}{3h}\right]\frac{1}{g(a+3h)}\)

　　　　　　\(\displaystyle =\left[2\cdot f\,'(a)-3\cdot g\,'(a)\right]\frac{1}{g(a)}\)

　　　　　　\(=-2\)

第 3 題題目：過曲線 \(y=x^3\) 上一點 \(P\) 有兩條切線，它們分別交 \(x\) 軸於 \(A\) 與 \(B\) 點，若令銳角 \(\angle APB=\theta\)，則 \(\tan\theta\) 的最大值？此時 \(x=\)？

思考：題目說「過曲線 \(y=x^3\) 上一點 \(P\) 有兩條切線」.....

咦.... 我有看沒有懂。過曲線 \(y=x^3\) 上一點 \(P\) 的切線不是應該只有一條嗎？是我疏忽了什麼嗎？

第3題：(另一條切線應該與 \(y=x^3\) 有兩個交點)

設 \(P(t,t^3)\)，過 \(P\)之切線為 \(y=m(x-t)+t^3\) 〈由一階導函數可知斜率 \(m\) 必有一解為 \(m=3t^2\)〉

欲求另一條切線的斜率，即考慮方程式：\(m(x-t)+t^3=x^3\)   \(\Rightarrow x^3-mx-t^3+mt=0\)

因為相切，故上方程式有重實根，故判別式 \(D=-4(-m)^3-27(t^3-mt)^2=0\)

整理判別式 \(4m^3-27t^2m^2+54t^4m-27t^6=0\)

因式分解〈已知有一解為 \(m=3t^2\)〉\((m-3t^2)(m-3t^2)(4m-3t^2)=0\)

可知另一條過 \(P\) 之切線斜率為 \(\displaystyle m=\frac{3t^2}{4}\)

則目標 \(\displaystyle \tan\theta=\frac{3t^2-\frac{3t^2}{4}}{1+3t^2\times\frac{3t^2}{4}}=\frac{9t^2}{9t^4+4}=\frac{9}{9t^2+\frac{4}{t^2}}\leq\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\) (最大值)

最後一個不等式可由算幾不等式而得，此時 \(\displaystyle 9t^2=\frac{4}{t^2} \Rightarrow t=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\)

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2014-3-19 01:25 PM 編輯 ]

原來題目的「過曲線 \(y=x^3\) 上一點 \(P\) 有兩條切線」，

有一條是以其他點為切點的切線，那條切線雖然也通過 \(P\) ，但卻不是以 \(P\) 為切點。

真的是我疏忽了。感謝。 ^____^

不好意思,請教老師,下面這個可否告知
求另一斜率,X^3-mx-t^2+mt=0, 相切,判別式D=-4(-m)^3-....,這個公式是怎麼求的?

謝謝

直線 \(y=m(x-t)+t^3\) 與函數 \(y=x^3\) 相切

表示方程式 \(m(x-t)+t^3=x^3\) 有重實根，整理得 \(x^3-mx-t^3+mt=0\) 有重實根

而實係數三次函數 \(f(x)=x^3+qx-r=0\) (缺 \(x^2\) 項)之判別式為 \(D=-4q^3-27r^2\)  (我喜歡這個版本^^)

若 \(D>0\)，則有三相異實根

若 \(D=0\)，則必含有重實根 (所有根皆為實根)

若 \(D<0\)，則為一實根二虛根(共軛)

證明過程其實就是和平常利用一階導函數 \(f'(x)=3x^2+q=0\) 的兩個根來說明 \(f(x)=0\) 的根之情形一樣

詳細可參考 徐氏選修數學(II) 2-3三次函數的圖形 最後一題範例

(這題一定還有其他作法的，用判別式不見得是最快解法，我再想想... )

謝謝老師講解