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102中正高中

simon112266

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1^# 大中小發表於 2013-4-25 20:24 只看該作者

102中正高中

星期二考的

有很多問題晚一點來請教>"<

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102中正高中.pdf (133.57 KB): 2013-4-25 20:24, 下載次數: 16118

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bugmens

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2^# 大中小發表於 2013-4-25 21:11 只看該作者

計算3.
設a+b+c=3，a2+b2+c2=45
(1)求a2(a−b)(a−c)+b2(b−a)(b−c)+c2(c−a)(c−b)=？
(2)求a4(a−b)(a−c)+b4(b−a)(b−c)+c4(c−a)(c−b)=？
[解答]
(1)
假設f(x)=(x−a)2(a−b)(a−c)+(x−b)2(b−a)(b−c)+(x−c)2(c−a)(c−b)
deg(f(x))

2
f(a)=(a−b)2(b−a)(b−c)+(a−c)2(c−a)(c−b)=a−b−(b−c)+a−c−(c−b)=1
同理f(b)=1，f(c)=1，可知

x

R，f(x)=1
f(0)=a2(a−b)(a−c)+b2(b−a)(b−c)+c2(c−a)(c−b)=1

這個方法卻無法應用在(2)小題
(2)
a4(a−b)(a−c)+b4(b−a)(b−c)+c4(c−a)(c−b)
=(a−b)(b−c)(c−a)−a4(b−c)−b4(c−a)−c4(a−b)
用數學軟體因式分解可得
=(a−b)(b−c)(c−a)(a−b)(b−c)(c−a)(a2+b2+c2+ab+bc+ca)
=a2+b2+c2+ab+bc+ca
=45+(−18)=27

thepiano的解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9021

類題
Simplify：a3(a−b)(a−c)+b3(b−a)(b−c)+c3(c−a)(c−b)
(USA Stanford Mathematics Tournament 2006，http://www.artofproblemsolving.c ... d=166&year=2006)
[答案]
a+b+c

a、b、c為相異三實數，試證

x

R，(x−a)2(b−a)(c−a)+(x−b)2(c−b)(a−b)+(x−c)2(a−c)(b−c)之值恆為一常數。
(79夜大社會組，新高中數學101修訂版p84)

104.5.2補充
若三次方程式x3−x2+2x−3=0的三個根分別為a

b

c，則a3(a2−b2)(a2−c2)+b3(b2−a2)(b2−c2)+c3(c2−a2)(c2−b2)=　　　。
(104鳳山高中，https://math.pro/db/thread-2244-1-1.html)

計算4.
(1)設a1

a2

an；b1

b2

bn均為正數，
求證：

n(a1+b1)(a2+b2)

(an+bn)

na1a2

an+

nb1b2

bn
(2)設0

2，求1cos3

+32sin3

之最小值
[提示]
(1)

na1n+

nb1n

na2n+

nb2n

nann+

nbnn

na1a2

an+

nb1b2

bn

n

感謝寸絲提供的意見
但就我對這份試題的理解，該計算有兩小題，第一小題就是要我們去證廣義柯西，然後再給第二小題套。
所以如果我是出題者的話，看到考生接套廣義柯西，大概是拿不到什麼分數？

thepiano的解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9021

(2)

1cos3

5

5+

2sin3

5

1cos3

5

5+

2sin3

5

\Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \ge \Bigg(\;1 \times 1+2 \times 2 \Bigg)\;^5

(我的教甄準備之路　廣義的科西不等式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-5-3 04:48 PM 編輯 ]

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simon112266

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3^# 大中小發表於 2013-4-25 22:25 只看該作者

想問填充1.5 計算3

填充1. 用牛頓一次因式檢驗...只能這樣嗎?因為他的可能還滿多的...

      5.可以硬把a d算出來...但是我想一定有更好的做法

計算3  (2)要怎麼因式分解阿...

以上  謝謝

[ 本帖最後由 simon112266 於 2013-4-25 10:29 PM 編輯 ]

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lyingheart

萊因哈特

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4^# 大中小發表於 2013-4-25 22:40 只看該作者

回復 3# simon112266 的帖子

填充1
觀察係數
\displaystyle 6x^6+5x^5-6x^4+6x^3+11x^2-x-6
\displaystyle =6x^6+5x^5-6x^4+6x^3+6x^2+5x^2-6x+5x-6
\displaystyle =(6x^6+6x^3+6x^2)+(5x^5+5x^2+5x)-(6x^4-6x-6)
\displaystyle =(x^4+x+1)(6x^2+5x-6)

計算3(2)
\displaystyle \frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0

所以求值式
\displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}-\frac{c^4}{(a-b)(a-c)}-\frac{c^4}{(b-a)(b-c)}

\displaystyle =\frac{a-c)(a^3+a^2c+ac^2+c^2)}{(a-b)(a-c)}+\frac{(b-c)(b^3+b^2c+bc^2+c^3}{(b-a)(b-c)}

\displaystyle =\frac{(a^3-b^3)+(a^2c-b^2c)+(ac^2-bc^2)}{a-b}

\displaystyle =a^2+ab+b^2+ac+bc+c^2

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-4-26 08:19 AM 編輯 ]

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Joy091

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5^# 大中小發表於 2013-4-25 23:16 只看該作者

回復 3# simon112266 的帖子

填充5.
可將數列分成三段:

前段 a_1,a_2,...,a_{2013}，共2013項

中段 a_{2014},a_{2015},...,a_{3102}，共1089項，和為 \displaystyle 1302 - 3102 =-1800

後段 a_{3103},a_{3104},...,a_{5115}，共2013項

可看出中段的平均就是全部 (a_1 到 a_{5115}) 的平均

故所求 \displaystyle S_{5115}=\frac{-1800}{1089}\cdot 5115=-\frac{93000}{11}

附帶一提，計算3 (2) 若是填充題，湊出 a=6，b=-3，c=0 代入即可!

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-4-26 06:54 AM 編輯 ]

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tsusy

寸絲

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6^# 大中小發表於 2013-4-26 00:48 只看該作者

回復 2# bugmens 的帖子

計算 3(2) 提供一個另解

令 \alpha=\frac{c-b}{\Delta}, \beta=\frac{a-c}{\Delta}, \gamma=\frac{b-a}{\Delta} ，其中 \Delta=(a-b)(b-c)(c-a) 。

再令 x_{n}=\alpha a^{n}+\beta b^{n}+\gamma c^{n}, y=abc ，則 a, b, c 滿足三次方程式 t^{3}-3t^{2}-18t-y=0\Rightarrow t^{3}=3t^{2}+18t+y 。

故有 x_{n+3}=3x_{n+2}+18x_{n+1}+yx_{n} 。

而 x_{0}=0, x_{1}=\frac{ac-ab+ba-bc+cb-ca}{\Delta}=0, x_{2}=1 by (1)

因此 x_{3}=3+0+0, x_{4}=3\cdot3+18\cdot1+0=27 。

其中 x_3, x_4 即為 \frac{a^3}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^3}{(b-a)(b-c)} +\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} 和 \frac{a^4}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^4}{(b-a)(b-c)} +\frac{c^4}{(c-a)(c-b)}

網頁方程式編輯 imatheq

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lyingheart

萊因哈特

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7^# 大中小發表於 2013-4-26 08:14 只看該作者

填充5
\displaystyle S_n=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)d) 為 n 的二次函數
推廣成 x 的二次函數, \displaystyle f(x) 滿足 \displaystyle f(2013)=3102,f(3102)=1302,f(0)=0
於是
\displaystyle f(x)=3102 \times \frac{x(x-3102)}{2013(2013-3102)}+1302 \times \frac{x(x-2013)}{3102(3102-2013)}

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2013-4-26 04:38 PM 編輯 ]

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best2218

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8^# 大中小發表於 2013-4-26 09:12 只看該作者

回復 3# simon112266 的帖子

分享填充一的另一種看法!
觀察方程式 6x^6+5x^5-6x^4+6x^3+11x^2-x-6=0
其中 6x^6+5x^5-6x^4=x^4(2x+3)(3x-2)
所以猜測接下來的 6x^3+11x^2-x-6 是否有相關因式
就可以檢測出來!

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shingjay176

興傑

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9^# 大中小發表於 2013-4-26 12:59 只看該作者

填充題第一題。以下是我的算法。
若f(x)=(ax+b)Q(x) ， \Rightarrow        \begin{array}{l} (a + b)|f(1) \\ (a - b)|f( - 1) \\ \end{array}
1、 6x^6  + 5x^5  - 6x^4  + 6x^3  + 11x^2  - x - 6 = 0
一次因式檢驗法，可能的一次因式有，
    \begin{array}{l} x + 1,x - 1,x + 2,x - 2,x + 3,x - 3,x + 6,x - 6, \\ 2x + 1,2x - 1,2x + 3,2x - 3,3x + 1,3x - 1,3x + 2, \\ 3x - 2,6x + 1,6x - 1 \\ f(1) = 6 + 5 - 6 + 6 + 11 - 1 - 6 = 15 \\ f( - 1) = 6 - 5 - 6 - 6 + 11 + 1 - 6 =  - 5 \\ \end{array}
用     \begin{array}{l} a + b|f(1) = 15 \\ a - b|f( - 1) =  - 5 \\ \end{array} 篩選
剩下可能的一次因式有， x + 2,2x + 1,2x + 3,2x - 3,3x + 2,3x - 2
在使用綜合除法檢查，可得有理根為       \frac{{ - 3}}{2},\frac{2}{3}

所以此兩個有理根相加，     \frac{{ - 3}}{2} + \frac{2}{3} = \frac{{ - 5}}{6}

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-20 05:00 PM 編輯 ]

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simon112266

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10^# 大中小發表於 2013-4-26 14:41 只看該作者

感謝各位強者老師

我還是需要多多加油阿!!

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