計算3.
設\( a+b+c=3 \)，\( a^2+b^2+c^2=45 \)
(1)求\( \displaystyle \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}= \)？
(2)求\( \displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)}= \)？
[解答]
(1)
假設\( \displaystyle f(x)=\frac{(x-a)^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{(x-b)^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{(x-c)^2}{(c-a)(c-b)} \)
\( deg(f(x)) \le 2 \)
\( \displaystyle f(a)=\frac{(a-b)^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{(a-c)^2}{(c-a)(c-b)}=\frac{a-b}{-(b-c)}+\frac{a-c}{-(c-b)}=1 \)
同理\( f(b)=1 \)，\( f(c)=1 \)，可知\( \forall x \in R \)，\( f(x)=1 \)
\( \displaystyle f(0)=\frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=1 \)
這個方法卻無法應用在(2)小題
(2)
\( \displaystyle \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^4}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^4}{(c-a)(c-b)} \)
\( =\displaystyle \frac{-a^4(b-c)-b^4(c-a)-c^4(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)
用數學軟體因式分解可得
\( =\displaystyle \frac{(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)
\( =a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \)
\( =45+(-18)=27 \)
thepiano的解答
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9021
類題
Simplify：\( \displaystyle \frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)} \)
(USA Stanford Mathematics Tournament 2006，
http://www.artofproblemsolving.c ... d=166&year=2006)
[答案]
\( a+b+c \)
\( a、b、c \)為相異三實數，試證\( \forall x \in R \)，\( \displaystyle \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}+\frac{(x-b)^2}{(c-b)(a-b)}+\frac{(x-c)^2}{(a-c)(b-c)} \)之值恆為一常數。
(79夜大社會組，新高中數學101修訂版p84)
104.5.2補充
若三次方程式\( x^3-x^2+2x-3=0 \)的三個根分別為\( a,b,c \)，則\( \displaystyle \frac{a^3}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)}+\frac{b^3}{(b^2-a^2)(b^2-c^2)}+\frac{c^3}{(c^2-a^2)(c^2-b^2)}= \)
。
(104鳳山高中，
https://math.pro/db/thread-2244-1-1.html)
計算4.
(1)設\( a_1,a_2,\ldots,a_n \)；\( b_1,b_2,\ldots,b_n \)均為正數，
求證：\( \displaystyle \root n \of{(a_1+b_1)(a_2+b_2) \times \ldots(a_n+b_n)} \ge \root n \of{a_1 a_2 \ldots a_n}+\root n \of{b_1 b_2 \ldots b_n} \)
(2)設\( \displaystyle 0<\theta <\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{1}{cos^3 \theta}+\frac{32}{sin^3 \theta} \)之最小值
[提示]
(1)
\( \displaystyle \Bigg(\; \root n \of{a_1}^n+\root n \of{b_1}^n \Bigg)\; \Bigg(\; \root n \of{a_2}^n+\root n \of{b_2}^n \Bigg)\; \times \ldots \times \Bigg(\; \root n \of{a_n}^n+\root n \of{b_n}^n \Bigg)\; \ge \Bigg(\ \root n \of{a_1 a_2 \ldots a_n}+\root n \of{b_1 b_2 \ldots b_n} \Bigg)\; ^n \)
感謝寸絲提供的意見
但就我對這份試題的理解，該計算有兩小題，第一小題就是要我們去證廣義柯西，然後再給第二小題套。
所以如果我是出題者的話，看到考生接套廣義柯西，大概是拿不到什麼分數？
thepiano的解答
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9021
(2)
\( \displaystyle
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{1}{cos^{3/5} \theta} \Bigg)\;^5+\Bigg(\; \frac{2}{sin^{3/5} \theta}\Bigg)\;^5 \Bigg]\;
\Bigg[\; \Bigg(\; \frac{1}{cos^{3/5} \theta} \Bigg)\;^5+\Bigg(\; \frac{2}{sin^{3/5} \theta}\Bigg)\;^5 \Bigg]\; \)
\( \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \Bigg[\; (cos^{2/5} \theta )^5+( sin^{2/5} \theta )^5 \Bigg]\; \ge \Bigg(\;1 \times 1+2 \times 2 \Bigg)\;^5 \)
(我的教甄準備之路 廣義的科西不等式，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075)
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本帖最後由 bugmens 於 2015-5-3 04:48 PM 編輯 ]
