101家齊女中

計算第三題:
(1) P1=2/7, P2=12/49
(2) 令前n 次的和 為 4k+1的 "情形" 有 a(n) 種， 4k+2 有 b(n) 種 ，4k+3 有 c(n) 種, 4k 有 d(n) 種
     則 a(n)+b(n)+c(n)+d(n)=7^n, 又觀察知 a(n+1) = a(n) + 2b(n) +2c(n) +2d(n) =a(n) + 2(7^n -a(n))
     兩邊同除以 7^(n+1), 得到 P(n+1)= -1/7 P(n) +2/7
(3) 解出 P(n)=(1/4)+(1/28)(-1/7)^(n-1)

有錯誤煩請指正

想請教填充第9,10題和計算第4題,謝謝

計算第4題：
試求有多少個相異的多項式\( f(x)=x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7 \)同時滿足下列2個條件：
(1)\( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7 \)為集合\( \{\; 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}\; \)中七個相異元素。
(2)\( f(x) \)可被\( x^3+x^2+x+1 \)整除。

我是用討論作，不知道有沒有妙招，也請大家幫小弟驗算一下，
首先觀察x^3+x^2+x+1=0的三虛根令為w, w^2, w^3,
又f(w)=0, 代入降次之後得到關係式 1+a4=a1+a5=a2+a6=a3+a7
（f(w^2)=0, f(w^3)=0 取交集後亦為此關係式）
再針對a4的值作討論：
(1)  若a4=10, 則 a1+a5=a2+a6=a3+a7=11,  所以(a1,a5), (a2,a6), (a3,a7)
      可能的情況為 (2,9), (3,8), (4,7), (5,6) , 此情形有 4*3*2*2^3=192
(2)  若a4=9,   可能的情況為 (2,8), (3,7), (4,6),  有 3*2*1*2^3=48
(3)  若a4=8,   可能的情況為 (2,7), (3,6), (4,5),  有 3*2*1*2^3=48
a4=7,6, 5,4,3,2,1 均無解
故所求共 288 組

觀念如有錯也煩請指正。
感謝 zeratulok 兄的提醒，多算的部分已修正。


104.4.12補充
設多項式\( f(x)=x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \)，其中\( a_6,a_5,a_4,a_3,a_2,a_1,a_0 \)是集合\( \{\; 1,2,3,4,\ldots,10 \}\; \)中的七個相異元素，若\( x^3+x^2+x+1 \)是多項式\( f(x) \)的因式，試問有　　　個滿足條件的多項式\( f(x) \)。
(104台中女中，https://math.pro/db/thread-2208-1-1.html)

提供填充5的解法，
其實和橢圓老師的解法很像。

好像有點問題....
a4=9的時候應該只剩下(2,8)、(3,7)、(4,6)三組可以湊出10..
所以應該是3!*2^3
a4=8，剩下(2,7)、(3,6)、(4,5)
所以也是3!*2^3
a4=7，就可能是(2,6)、(3,5)而已，所以不可能了，以下都不行
還是我理解錯誤  囧
感謝指教!

你說的沒錯，的確是我眼殘沒發現，多謝指教，待會馬上修正。

填充五提供另一種解法

我是列出前幾項之後　發現相鄰兩項的差會成為等差數列

也就是階差

整理可得　a_n = 2 [ 1+2+...+(n-1) ]  = n * (n-1 )

所以可求得 從第一項加到第一百項的和為 333300





ps. 這次沒考好 , 嘆~

10.
雙曲線的中心點在原點，兩個焦點皆在x軸上，有一條斜率為\( \displaystyle \sqrt{\frac{3}{5}} \)的直線通過右焦點並且交雙曲線於P,Q兩點，已知\( \overline{OP} \)垂直於\( \overline{OQ} \)且\( \overline{PQ}=4 \)，求雙曲線方程式

104.4.13補充
104台中女中也考了這題。https://math.pro/db/thread-2208-1-1.html

雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，過雙曲線右焦點且斜率為\( \sqrt{\frac{3}{5}} \)的直線交雙曲線於P,Q兩點，若\(  \overline{OP}⊥\overline{OQ} \)，\( |PQ |=4 \)。求雙曲線的方程？
(奧數教程　高二　第23講　曲線系)




計算2.
x,y皆為實數，滿足\( \displaystyle \cases{\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=2(y^4-x^4) \cr \frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=(x^2+3y^2)(3x^2+y^2)} \)，求\( (x,y) \)
William Lowell Putnam Mathematical Competition 2001
94高中數學能力競賽　台北市試題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514
97中一中，https://math.pro/db/thread-1344-1-1.html

想請教填充6..第二個k=65 如何解出...@@.
我令F(x)=f(x)-124=(x-1)(x-2)(x-k)...
假設x=m為F(x)=0的第3個實根，則
F(m)=0=m^3-(3+k)*m^2+(2+3k)*m+(124-2k)=0
則 m^3-3*m^2+2^m+124=k*m^2-3*k*m+2*k
則m=0  則124=2k  , k=62
還是此題不是如此解法>"<...感謝!!

這一題我的想法很簡單
因為是整數解，所以整數帶入後，前面三個括號相乘要等於-124
124＝2*2*31＝2*62
但因為第一跟第二的括號出來的結果相差1，所以一定就是1*2或（-1）*（-2）
x=3 or 0 這樣下去算 k ＝ 62 or 65...