計算第4題：
試求有多少個相異的多項式
f(x)=x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7同時滿足下列2個條件：
(1)
a1
a2a3a4a5a6a7為集合
12345678910
中七個相異元素。
(2)
f(x)可被
x3+x2+x+1整除。
我是用討論作，不知道有沒有妙招，也請大家幫小弟驗算一下，
首先觀察x^3+x^2+x+1=0的三虛根令為w, w^2, w^3,
又f(w)=0, 代入降次之後得到關係式 1+a4=a1+a5=a2+a6=a3+a7
（f(w^2)=0, f(w^3)=0 取交集後亦為此關係式）
再針對a4的值作討論：
(1) 若a4=10, 則 a1+a5=a2+a6=a3+a7=11, 所以(a1,a5), (a2,a6), (a3,a7)
可能的情況為 (2,9), (3,8), (4,7), (5,6) , 此情形有 4*3*2*2^3=192
(2) 若a4=9, 可能的情況為 (2,8), (3,7), (4,6), 有 3*2*1*2^3=48
(3) 若a4=8, 可能的情況為 (2,7), (3,6), (4,5), 有 3*2*1*2^3=48
a4=7,6, 5,4,3,2,1 均無解
故所求共 288 組
觀念如有錯也煩請指正。
感謝 zeratulok 兄的提醒，多算的部分已修正。
104.4.12補充
設多項式
f(x)=x7+a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，其中
a6a5a4a3a2a1a0是集合
1234
10中的七個相異元素，若
x3+x2+x+1是多項式
f(x)的因式，試問有
個滿足條件的多項式
f(x)。
(104台中女中，
https://math.pro/db/thread-2208-1-1.html)
