101桃園高中

各科初試最低錄取分數如下:
1. 國文科正式：82.4分
2. 數學科正式：86分
3.    國文科代理:78分
4.    數學科代理:73分
5.    地科代理:46.4分
學校僅公佈最低錄取分數，無考生個人成績

填充第 3 題：

小於 \(3^{10}\) 且與 \(3^{10}\) 互質的正整數個數為 \(\displaystyle 3^{10}\left(1-\frac{1}{3}\right)=2\cdot 3^9\)

思考：若 \(1\leq k<3^{30}\) 且 \(gcd(k,3^{10})=1\)，則 \(\displaystyle  gcd(3^{10}-k,3^{10})=1\Rightarrow \frac{k}{3^{10}}+\frac{3^{10}-k}{3^{10}}=1\)

因此，所求＝\(\displaystyle  \frac{1}{2}\cdot \left(2\cdot3^9\right)=3^9=19683.\)

填充3
歐拉定理告訴我們
1~3^10正整數中與3^10互質的數共有3^10*(1-1/3)=2*3^9個
這些頭尾配的和=3^10 (第一個配最後一個,第二個配最後第二個,.....)
共有2*3^9/2=3^9組
所求的總和=(3^10)*(3^9)/ (3^10)=3^9

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-24 08:17 PM 編輯 ]

填充第 8 題：

思考：小弟不太喜歡兩個變數互相限制來限制去的，因使先想辦法讓兩個變數沒有瓜葛～

令 \(t=x-y\Rightarrow t\geq0\)

\(\displaystyle\frac{5x+4y}{x+2y}=\frac{5t+9y}{t+3y}=3+\frac{2t}{t+9y}=3+\frac{2}{1+\frac{y}{t}}\geq3\)

先找出下界是 \(3\) 了！

當 \(t=0,y\in R^+\)時，\(\displaystyle \frac{5t+9y}{t+3y}\) 有最小值為 \(3\)

亦即當 \(x=y>0\) 時，可得 \(\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}\) 有最小值為 \(3\)



因為 \(\displaystyle \frac{y}{t}\geq0\)，因此 \(\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}=3+\frac{2}{1+\frac{y}{t}}\leq3+\frac{2}{1+0}=5\)

找到上界 \(5\) 了！

當 \(y=0, x>0\) 時，可得 \(\displaystyle \frac{5x+4y}{x+2y}=5\) 為最大值.


因此，所求＝最小值＋最大值＝\(8\)

填充第 6 題：

※　如下想了一個怪方法，我想應該有其他更漂亮的方法吧。

先畫出圖形，觀察一下～

令 \(\displaystyle \vec{BO}=p\vec{BA}+q\vec{BC}\) .......(1)

將 (1) 的等號左右同時內積 \(\displaystyle \vec{BA}\)，可得 \(\displaystyle 27=27p+(-27)q\)

將 (1) 的等號左右同時內積 \(\displaystyle \vec{BC}\)，可得 \(\displaystyle 108=(-27)p+108q\)

兩式解聯立，可得 \(\displaystyle p=\frac{8}{3}, q=\frac{5}{3}\)

亦即 \(\displaystyle \vec{BO}=\frac{8}{3}\vec{BA}+\frac{5}{3}\vec{BC}=\frac{13}{3} \left(\frac{8}{13}\vec{BA}+\frac{5}{13}\vec{BC}\right) \)

令 \(\displaystyle \overline{OB}\) 與 \(\displaystyle \overline{AC}\) 的交點為 \(\displaystyle D\)

可得 \(\displaystyle \overline{AD}:\overline{DC}=5:8\)，且 \(\displaystyle \overline{BD}:\overline{OB}=3:13\Rightarrow \overline{OD}:\overline{OB}=10:13\)

因此，\(\displaystyle \vec{OD}=\frac{8}{13}\vec{OA}+\frac{5}{13}\vec{OC}\) 且 \(\displaystyle \vec{OB}=\frac{13}{10}\vec{OD}\)

故，\(\displaystyle \vec{OB}=\frac{13}{10}\left(\frac{8}{13}\vec{OA}+\frac{5}{13}\vec{OC}\right)=\frac{4}{5}\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{OC}\)

填充六

感謝老王老師，我看懂了!!!考試的時候一直執著它是圓內接四邊形，想把它坐標化，卻一直鬼打牆，謝謝您的解答。

看到老王所提供的圖，讓我想起指考研究用試題有一個類似題

已知\( ∠AOB=60^o \)，\( \overline{AE}=a \)，\( \overline{BE}=b \)，\( \vec{OE}=\alpha \vec{OA}+\beta \vec{OB} \)，請以a與b表示\( \alpha \)與\( \beta \)。
(94指定科目考試研究用試題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=932&page=1#pid2009)

我自己想請教的是計算第五題
我想以直線方程式\( ax+by=(a,b) \)的找出x,y的整數解一般項的方法應用在
平面方程式\( 36=77a+55b+35c \)的a,b,c整數解一般項
只是我自己繞來繞去仍是解不出來，不知道是否還有其他種方法

感謝weiye解題，原來是用同餘
也感謝Ellipse解題，是我太執著於找一般解，忘記要檢查是否真的有整數解

103.5.29補充
102景美女中也考了相同的題目https://math.pro/db/thread-1624-1-1.html