101中科實中（含計算1）

填充第13題
設有一階梯共有20階，每次只能走2階或3階，第8階階梯壞掉不能踩且必須踩上第12階的上樓方法數=　　　。


這是本來的題目嗎?
我好像眼拙,送他四分了...qq

遞迴不難做，

但要注意第八項為 0，遞迴關係為 \( a_{n+3} =a_{n+1}+a_n \)

從 1-12 分別為 0,1,1,1,2,2,3,0,5,3,5,8

之後再做 13-20 0,1,1,1,2,2,3,4

其實和  1-12 一樣

所以答案是 \( 8 \times 4 =32 \)

但是我也眼殘，沒看到 20 ，印象中我只算到 12階

填充:袋中有號碼球120個 ,第ｉ號球有ｉ個, i= 1~15 , 取一球後放回,記錄其號碼與ｎ之差的絕對值,求差的絕對值之期望值最小時的ｎ=?
　　　(題目大概記的是這樣),

選擇１０: (cos10度)^2+(cos50度)^2-(sin40度)(sin80度)=?


請問走樓梯的問題: 為什麼走到12階的方法數會等於走到20階的方法數一樣呢?

已修正題目,謝謝 !!

[ 本帖最後由 mandy 於 2012-4-8 06:57 PM 編輯 ]

我記得是共有120顆球，第1號到第15號，第ｉ號球有ｉ個，其他同上。

這題我猜中位數，不知道對不對...XD

選擇第10題
求值：\( cos^2 10^{\circ}+cos^2 50^{\circ}-sin40^{\circ}sin 80^{\circ}= \)？
(A)\( \displaystyle \frac{1}{2} \)　(B)\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \)　(C)\( \displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{5} \)　(D)\( \displaystyle \frac{3}{4} \)　(E)\( \displaystyle \frac{5}{6} \)。
[解答]
\( cos^2 10^{\circ}+cos^2 50^{\circ}-sin40^{\circ}sin 80^{\circ} \)
\( \displaystyle =\frac{cos 20^{\circ}+1}{2}+\frac{cos 100^{\circ}+1}{2}-\frac{1}{2}\left[ cos(40^{\circ}-80^{\circ})-cos(40^{\circ}+80^{\circ}) \right] \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}+cos100^{\circ}-cos40^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-(cos80^{\circ}+cos40^{\circ})}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-2cos60^{\circ} \cdot cos 20^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{cos20^{\circ}-cos20^{\circ}}{2}+\frac{3}{4} \)
\( \displaystyle =\frac{3}{4} \)

回程的路上，想到，這題其實可以用立方和加三倍角公式做，如下

\(\displaystyle \cos^{2}10^{\circ}+\cos^{2}50-\cos50^{\circ}\cos10^{\circ}=\frac{\cos^{3}10^{\circ}+\cos^{3}50^{\circ}}{\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ}}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{4}\cdot\frac{4\cos^{3}10^{\circ}+4\cos^{3}50^{\circ}}{\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ}}\)
\(\displaystyle=\frac{1}{4}\frac{4\cos30^{\circ}+4\cos150^{\circ}+3(\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ})}{\cos10^{\circ}+\cos50^{\circ}}\)
\(\displaystyle=\frac{3}{4}\)

實在厲害...
來補上自己的考試中未竟之功...考試中一直在想特殊化，用特例帶數字，但一直想正三角。

但其實直角三角形才會好算。

特例：令 \( A(0,0), B(2,0), C(0,2), D(1,1), G(t,t)\)， \( t \) 待決定，以滿足題目條件。

則邊長比積和可表示為 \(\displaystyle \frac{t}{1-t}+\frac{2-t}{t}+\frac{2-t}{t}=2012\)

整理成 \( \Rightarrow t^{2}+2(2-t)(1-t)=2012(1-t)t\Rightarrow2015t^{2}-2018t+4=0\)。

邊長比的積 \(\displaystyle \frac{(2-t)^{2}}{(1-t)t}=\frac{t^{2}-4t+4}{t-t^{2}}\times\frac{2015}{2015} \)

\(\displaystyle =\frac{2018t-4-8060t+8060}{4-3t}=\frac{-6042t+8056}{-3t+4}=2014 \)。

不過這樣的作法，也只能用在填充題上而已，有沒有更漂亮簡單的特例呢？

選擇10
以前PO過的作法
\(\displaystyle \cos^2{10^o}+\cos^2{50^o}-\cos{50^o}\cos{10^o} \)
\(\displaystyle =\sin^2{80^o}+\sin^2{40^o}-2\sin{80^o}\sin{40^o}\cos{60^o} \)
\(\displaystyle =\sin^2{60^o} \)

\( (cos10^o)^2+(cos50^o)^2-(sin40^o)(sin80^o)= \)？
(1991中國高中數學聯賽)
[解答]
改計算\( (sin80^o)^2+(sin40^o)^2-(sin40^o)(sin80^o) \)
可以看成半徑為\( \displaystyle \frac{1}{2} \)圓上的三角形ABC
\( ∠A=80^o \)，\( ∠B=40^o \)，\( ∠C=60^o \)
由正弦定理可知
\( \overline{BC}=sin80^o \)，\( \overline{CA}=sin40^o \)，\( \overline{AB}=sin60^o \)
由餘弦定理可知
\( \overline{AB}^2=\overline{BC}^2+\overline{CA}^2-2 \times \overline{BC} \times \overline{CA} \times cos60^o \)
\( \displaystyle (sin60^o)^2=(sin80^o)^2+(sin40^o)^2-2 \times sin40^o \times sin80^o \times \frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \frac{3}{4}=(sin80^o)^2+(sin40^o)^2-(sin40^o)(sin80^o) \)

晚了一步

\( \Large{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\Huge{\frac{\frac{2x}{1-x^2}+\frac{3x-x^{3}}{1-3x^2}}{1-\frac{2x}{1-x^2}\frac{3x-x^{3}}{1-3x^2}}}  \)     求x的最大值(x有給定範圍，忘記了sorry)

[ 本帖最後由 t3712 於 2012-4-8 05:33 PM 編輯 ]