100苑裡高中

如題

請教一下填充4是否有較快的解法?

[ 本帖最後由 gamaisme 於 2011-7-7 10:10 PM 編輯 ]

設\( 4x^3+3x^2+2x+1=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \displaystyle \frac{1}{\alpha^5}+\frac{1}{\beta^5}+\frac{1}{\gamma^5} \)？

改一下符號
假設4x^3+3x^2+2x+1=0的解為x=x1,x2,x3,求(1/x1)^5 +(1/x2)^5 +(1/x3)^5

令y=1/x ,及y1=1/x1,y2=1/x2,y3=1/x3
則4(1/y)^3 +3(1/y)^2+2(1/y)+1=0
=> y^3+2y^2+3y+4=0-------------(*)
y=y1,y2,y3為(*)的解

所求=(y1)^5+(y2)^5+(y3)^5

=[-2(y1)^4-3(y1)^3-4(y1)^2]+[-2(y2)^4-3(y2)^3-4(y2)^2]+[-2(y3)^4-3(y3)^3-4(y3)^2]

=-2[(y1)^4+(y2)^4+(y3)^4]-3[(y1)^3+(y2)^3+(y3)^3]-4[(y1)^2+(y2)^2+(y3)^2]

......(繼續降次方)

=5[y1+y2+y3]-12

=5*(-2)-12

=-22

1.
設\( x,y,z \in N \)且\( xy+yz+zx=xyz \)，則數對\( (x,y,z) \)之解有　　組。

(1)求\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8} \)所有的正整數解；
(2)求\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 \)所以的正整數解。
(96南港高工日間部)

類似題
求\( \displaystyle \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1 \)的正整數解。


4.
設\( 4x^3+3x^2+2x+1=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \displaystyle \frac{1}{\alpha^5}+\frac{1}{\beta^5}+\frac{1}{\gamma^5} \)？
[提示]
令\( 4+3y+2y^2+y^3=0 \)三根為\( \displaystyle \frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta},\frac{1}{\gamma} \)
再用https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2501方法下去算

設\( x^3+2x^2+3x+4=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5 \)？
(99苗栗高中，https://math.pro/db/thread-1019-1-1.html)

令a,b,c為三次方程式\( x^3+5x+11=0 \)的根，求\( a^3+b^3+c^3 \)
(A)−33　(B)33　(C)22　(D)−22
(98金門縣國中聯招)


9.
已知正△ABC內一點P到三頂點A、B、C之距離分別5、12、13，則△ABC之邊長為？

設△ABC為正三角形，點P為其內部一點，若\( \overline{PA}=5 \)、\( \overline{PB}=12 \)、\( \overline{PC}=13 \)，則△ABC之面積為？
(97中和高中)

若△ABC為一正三角形，且在此三角形內部中有一點P使得\( \overline{AP}=3 \)，\( \overline{BP}=4 \)，\( \overline{CP}=5 \)，試問此正三角形之邊長為何？
(2008TRML團體賽)


9.
空間中10個相異平面，最多能將空間分割成個　　區域？

這只是五分的填充題，請不要用遞迴關係解題
我提供一個速解法，包含驗算20秒就可以寫答案
[速解]
\( C_0^{10}+C_1^{10}+C_2^{10}+C_3^{10}=176 \)

100.11.19補充
用遞迴解題
http://cplee8tcfsh.blogspot.com/2011/03/blog-post_14.html

14.
設\( (1+x)^n=C_0^{n}+C_1^n x+C_2^n x^2+C_3^n x^3+...+C_n^n x^n \)，
則\( C_1^n+2^2 C_2^n+3^2 C_3^n+4^2 C_4^n+...+n^2 C_n^n \)？
[公式]
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k C_k^n=n \times 2^{n-1} \)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 C_k^n=n(n+1) 2^{n-2} \)

利用歸納法證明：\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k C_k^n=n 2^{n-1} \)。
(100家齊女中，https://math.pro/db/thread-1122-1-3.html)


計算證明題
2.
△ABC中，已知\( a=\overline{BC} \)，\( b=\overline{CA} \)，\( c=\overline{AB} \)，試證明：\( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)

Suppose a,b,c are the sides of a triangle. Prove that \( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)
(IMO1964)
[解答]
Schur's inequality
\( a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \ge 0 \)

\( a(a-b)(a-c)=a(a^2-ac-ba+bc)=-a^2(b+c-a)+abc \)
\( b(b-c)(b-a)=b(b^2-ab-cb+ca)=-b^2(c+a-b)+abc \)
\( c(c-a)(c-b)=c(c^2-cb-ac+ab)=-c^2(a+b-c)+abc \)
三式相加得
\( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)

其他解法
http://gbas2010.wordpress.com/2009/12/02/i-m-o-1964/

參考資料
http://en.wikipedia.org/wiki/Schur's_inequality
http://www.artofproblemsolving.c ... 66834&p=2018835
http://www.artofproblemsolving.c ... 65683&p=1441901
http://www.artofproblemsolving.c ... =71110&p=414261

[ 本帖最後由 bugmens 於 2011-11-19 08:55 PM 編輯 ]

請教版主大大,第9題的速解用C是如何來的,謝謝

xy + yz + xz = xyz
同除以 xyz得到1/x+1/y+1/z = 1
應該比較好討論

我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題

單選第一題
1.
有一道題目：「設\(\displaystyle \omega=cos \frac{2\pi}{n}+isin\frac{2\pi}{n}\)，\(n \in N\)，\(n>2\)，求\(\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \ldots \omega^n\)之值」。而阿煌在解這一題時，所用的步驟(A)至(E)如下：\(\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \ldots \omega^n=\)，請問阿煌的作法，從哪一步驟開始錯誤？
(A)\(\displaystyle =\omega^{1+2+3+\ldots+n}\)　(B)\(\displaystyle =\omega^{\frac{n(n+1)}{2}}\)　(C)\(\displaystyle =(\omega^n)^{\frac{n+1}{2}}\)　(D)\(\displaystyle =1^{\frac{n+1}{2}}\)　(E)\(=1\)。

棣美弗定理
n(n+1)/2 要整個跟角度相乘
所求=cos[(2Pi/n)*(n*(n+1)/2)]+i*sin[(2Pi/n)*(n*(n+1)/2)]
=cos[Pi(n+1)]+i*sin[Pi*(n+1)]
在(c)就錯了!

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-9 10:06 PM 編輯 ]

#11
設橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\)與雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1\)有公共焦點。當以它們的「交點」為頂點的四邊形面積為最大時，則數對\((A,B)=\)　　　。
[解答]
假設雙曲線的焦距=c
則c^2=16-9=B-A (A<0)
B=7+A
解x^2/9 +y^2/16=1
x^2/A +y^2 /(A+7)=1
得第一象限交點P( (-9A/7)^0.5 ,(16(A+7)/7)^0.5)
所圍成矩形面積=4*[(-9A/7)^0.5 *16(A+7)/7)^0.5]
=(48/7)*[-A(A+7)]^0.5----------(*)
由配方法可知當A=-7/2時,(*)有最小值
此時B=7+(-7/2)=7/2
所求數對(A,B)=(-7/2,7/2)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-11 01:54 PM 編輯 ]

多謝Ellipse老師的指導~