99高雄市聯招

請問weiye老師
https://math.pro/db/redirect.php ... o=lastpost#lastpost
最後一個問題的內容

這你可能要問寫那個解答的原發文者了，謝謝。^__^

或是版上其他高手，有沒有人對於統計比較熟析的了。^__^

a_n+2=3a_n+1-2a_n  , a_2=7,   a_6=127   求  a_10

謝謝你ㄟ我在想想吧!

"C5取2" 記為 C(5,2)
試證:
C(2,2)C(n,1)+C(3,2)C(n,2)+C(4,2)C(n,3)+...+C(n+1,2)C(n,n)=n(n+3)*2^(n-3)

考慮 n 人中任取出 k 人 (k=1,2,...,n)，再搭配 n 人以外的某甲後，取出2人的方法數。

左式 = 分類討論 (k=1,2,...,n) 後再加總

右式 = 有取到甲的case + 沒有取到甲的case
         = C(n,1)*2^(n-1) + C(n,2)*2^(n-2)
         = n*2^(n-1) + n(n-1)*2^(n-3)
         = n(n+3)*2^(n-3)                        證明完畢。

第 13 題：試證 \(C^2_2 C^n_1 + C^3_2 C^n_2 + C^4_2 C^n_3 + \cdots +C^{n+1}_2 C^n_n=n(n+3) 2^{n-3}\)

證明：

左式 \(\displaystyle=\sum_{k=1}^n C^{k+1}_2 C^n_k\)

     \(\displaystyle= \sum_{k=1}^n \frac{(k+1)k}{2} C^n_k\)

     \(\displaystyle=\sum_{k=1}^n \frac{k(k-1)+2k}{2} C^n_k\)

     \(\displaystyle=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n k(k-1) C^n_k+\sum_{k=1}^n k C^n_k\)

     \(\displaystyle=\frac{1}{2}\sum_{k=2}^n k(k-1) C^n_k+\sum_{k=1}^n k C^n_k\)

     \(\displaystyle=\frac{1}{2}\sum_{k=2}^n n(n-1) C^{n-2}_{k-2}+\sum_{k=1}^n n C^{n-1}_{k-1}\)

     \(\displaystyle=\frac{1}{2}n(n-1)\cdot 2^{n-2} + n\cdot 2^{n-1}\)

     \(\displaystyle=n(n+3) 2^{n-3}\)


使用此技巧的相似考題：

1. 求 Σk^2 * C(n,k) 之值
https://math.pro/db/thread-62-1-5.html

2. 求 Σ k^3 * C(n,k) 之值
https://math.pro/db/thread-401-1-5.html

3. 求 \(\displaystyle \sum_{k=0}^{100} \left(x+\frac{k}{100}\right)^2C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\) 之值
https://math.pro/db/thread-941-1-1.html

4.
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=2#pid1322

第16題答案應該是2047

請問這題題目是說"一直取到出現白球為止"，算法是不是有問題?我算出來的答案是兩顆?

喔～對耶，我把題目看成「到取完白球為止」，我看錯了，馬上來修改！XD

第一題詳解
今年高雄市又考這題YA
8分馬上入帳

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 11:35 AM 編輯 ]