112嘉義高中

1.將2023寫成連續正整數之和的方法數2.A={z|z屬於複數,|(1/z)-1|>=1},B={z|z屬於複數,|z-1|<=1} 求A交集B的面積
3.正八面體 2頂點A(2,4,5),C(4,4,7) 若G(3,5,6)在三角形ABC內部，則F座標為?
4.n是大於5的整數，存在實數a,b,c,d,e使得 n^5=a*C^n_5+b*C^n_4+c*C^n_3+d*C^n_2+e*C^n_1,則a+b+c+d+e=?
5.只用0,1,2,3，長度n表示由n個數組成(可重複)，f(n)表示所有長度為n的數列中連續兩個0出現的次數總和，像是f(3)中，100算1次，002也算1次，000則算是2次，求f(9)有幾個正因數?
6.四顆公正的骰子，骰出四顆點數乘積為完全平方數時停止，否則繼續投擲，求投出次數的期望值。
7.k為整數，若∫^x_3 |t-5|dt=2x-2023/k 有3個相異根，則k有__個不同的可能值。
8.四個平行的平面，E1:3x+4y+5z=0,E2:3x+4y+5z=1,E3:3x+4y+5z=2,E4:3x+4y+5z=3，正四面體的四個頂點A,B,C,D分別在E1,E2,E3,E4上，則四面體ABCD和E2相交的截面積=?
9.半徑為6的圓柱，被通過直徑AB與底面積夾角為30度的平面所截，求較小塊的體積=?
10.1*3*C^16_1(3/4)(1/4)^15+2*4*C^16_2(3/4)^2(1/4)^14+...+16*18*C^16_16(3/4)^16=?
11.袋子裡5顆黑球3顆白球，隨機取一顆不放回，共取4次，排成一列，X表取出的4顆球變色數。例:黑黑黑黑，X=0。黑白黑黑，X=2，則X的期望值=?
18.橢圓(x^2)/m+(y^2)=1.(m>1),雙曲線(x^2)/n-(y^2)/3=1(n>0)有相同的焦點F1,F2,P為兩曲線的一交點，則tan角F1PF2=?

剩下再麻煩其他老師補充一下


112.4.30版主補充
嘉義高中公布題目和答案

1.
將2023寫成連續正整數的和(至少兩個)的方法數有　　　種。
(98松山高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=827&page=1#pid1797)

4.
若\(n\)為大於5的正整數，且存在實數\(a,b,c,d,e\)使得\(n^5=aC_5^n+bC_4^n+cC_3^n+dC_2^n+eC_1^n\)，則\(a+b+c+d+e\)之值為　　　。
[解答]
https://math.pro/db/thread-673-1-1.html
\(\matrix{0&&1&&32&&243&&1024&&3125&&7776\cr
&1&&31&&211&&781&&2101&&4651&\cr
&&30&&180&&570&&1320&&2550&&\cr
&&&150&&390&&750&&1230&&&\cr
&&&&240&&360&&480&&&&\cr
&&&&&120&&120&&&&&}\)
\(n^5=120C_5^n+240C_4^n+150C_3^n+30C_2^n+1C_1^n+0C_0^n\)

9.
有一個底半徑為6公分的圓柱體，被一個通過直徑\(AB\)且與底面夾\(30^{\circ}\)角的平面所截，試求所截出較小塊的立體體積為　　　立方公分。
公式：\(\displaystyle \frac{2}{3}{{r}^{3}}\tan \theta \)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2556&page=1#pid16011

10.
求\(\displaystyle 1\cdot 3\cdot C_1^{16}(\frac{3}{4})^(\frac{1}{4})^{15}+2\cdot 4\cdot C_2^{16}(\frac{3}{4})^2(\frac{1}{4})^{14}+3\cdot 5\cdot C_3^{16}(\frac{3}{4})^3(\frac{1}{4})^{13}+\ldots+16\cdot 18\cdot C_{16}^{16}(\frac{3}{4})^{16}\)之值　　　。

填充5
考慮所有只用\(0,1,2,3\)四種數字組成的序列，序列長度\(n\)是指該序列由\(n\)個數字組成(可重複出現)。令\(f(n)\)為在所有長度\(n\)的序列中連續兩個零(即00)出現的次數總和。例如長度3的序列中含有連續兩個零的有000，001，002，003，100，200，300，其中000貢獻2次00，其餘各貢獻1次00，故\(f(3)=8\)。求\(f(9)\)有　　　個正因數。
[解答]
有誤請指正，也謝謝piano老師的答案，不知piano老師的作法亦是相同

您的方法太漂亮了，感謝指導

原來要用二階遞迴，難怪我用一階做了老半天

填充5.
考慮所有只用\(0,1,2,3\)四種數字組成的序列，序列長度\(n\)是指該序列由\(n\)個數字組成(可重複出現)。令\(f(n)\)為在所有長度\(n\)的序列中連續兩個零(即00)出現的次數總和。例如長度3的序列中含有連續兩個零的有000，001，002，003，100，200，300，其中000貢獻2次00，其餘各貢獻1次00，故\(f(3)=8\)。求\(f(9)\)有　　　個正因數。
[解答]

想請教第8題
有四個平行平面：\(E_1\)：\(3x+4y+5z=0\)、\(E_2\)：\(3x+4y+5z=1\)、\(E_3\)：\(3x+4y+5z=2\)及\(E_4\)：\(3x+4y+5z=3\)，若一正四面體的四頂點\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)分別在\(E_1\)、\(E_2\)、\(E_3\)及\(E_4\)，則此正四面體和\(E_2\)相交的截面積為　　　平方單位。
[解答]

我的做法如圖，所求的區域即是三角形BGH，而從題目給的條件可以知道

\(\displaystyle\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\)

從這個去推在正四面體邊長為a的情況下，三角形BGH的面積

然後再由此可得到四面體A-BGH的體積，即是正四面體ABCD體積的六分之一。

而四面體A-BGH的體積又可以寫成

\(\frac{1}{3}三角形BGH面積× E_1和E_2的距離\)

藉著這個關係，就可以回推a是多少，從而得到所求三角形BGH的面積
　
但我覺得寫起來好累......，想要問各位老師是怎麼處理這一題的？
謝謝

1. 面積的部分：可以構造另一個簡單坐標的四面體，再縮放
某正四面體的頂點坐標 \( A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(1,1,1) \)，邊長為 \( \sqrt{2} \)
G 在 AD 上，且  \( AG:GD = 1:2 \)，G的坐標為 \( (1,\frac13,\frac13) \)
H 為 AC 中點，H 的坐標為 \( (\frac12,0,\frac12) \)
透過外積，可計算得三角形 BGH 的面積為 \( \frac{\sqrt{5}}{6} \)

若伸縮成邊長為 \( a \) 的正四面體積時，面積為 \( \frac{\sqrt{5}}{12} a^2 \)

2. 令 \( M, N \) 分別為 AD, BC 中點，將AD沿著 \( \vec{MN} \) 平移得 A'D'
此時，A'D' 和 BC 互相垂直平分

令 \( \vec{n} \) 平面 \( E_1 \) 的一個法向量，\( \theta \) 為 \( \vec{AD} \) 和 \( \vec{n} \) 的夾角。
由四個平面得距離關係可得 \( \sin \theta  = 3 |\cos \theta| \Rightarrow \sin \theta = \frac 3{\sqrt{10}} \)
而 \( E_1, E_4 \) 的距離為 \( \frac 3{\sqrt{50}} \)，故此四面積體的邊長為 \( \frac 3{\sqrt{50}} \cdot  \frac 1{\sin \theta} = \frac1{\sqrt{5}} \)

綜合以上，所求 \( =\frac{\sqrt{5}}{60} \)

感謝寸絲老師!

做的時候還真的沒有想到可以先構造一個好座標化的四面體，
害我用外積求面積的時候，化簡不出來，只好另許他法處理面積。

請教2,6(有除了窮舉以外的方法嗎),10

第10題
求\(\displaystyle 1\cdot 3 C_1^{16}\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{4}\right)^{15}+2\cdot 4\cdot C_2^{16}\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\left(\frac{1}{4}\right)^{14}+3\cdot 5\cdot C_3^{16}\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{13}+\ldots+16\cdot 18\cdot C_{16}^{16}\left(\frac{1}{4}\right)^{16}\)之值　　　。
[解答]