98高雄市聯招

請見附件

1.將與105互質之所有正整數由小到大排成一數列，求此數列第1000項之值。

補上出處，新奧數教程　高一　第2講　有限集元素的數目
将与105互质的所有正整数以小到大排成数列，求这个数列的第1000项。
其餘題目可參考h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834(連結已失效)
的"奧數教程.rar"

3.平面上有一四邊形ABCD，其頂點分別為\( A(0,0) \)，\( B(2,1) \)，\( C(3,4) \)，\( D(-1,7) \)，此平面上另P，Q兩點，使得\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2+\overline{PD}^2 \)與\( \overline{QA}+\overline{QB}+\overline{QC}+\overline{QD} \)均有最小值，試求P，Q座標。
[提示]
令\( P(x,y) \)，配方法求最小值
\( \overline{AC} \)，\( \overline{BD} \)的交點為Q

二、證明題
1.證明：\( \frac{1}{1999}<\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1997}{1998}<\frac{1}{44} \)

102.08.19補充出處
Prove that \( \displaystyle \frac{1}{1999}< \prod_{i=1}^{999}\frac{2i-1}{2i}<\frac{1}{44} \)
(Canada National Olympiad 1997，http://www.artofproblemsolving.c ... id=51&year=1997)


補充一題
\( \frac{1}{2001}<\frac{2 \times 4 \times 6 \times ... \times 2000 }{1 \times 3 \times 5 \times ... \times 2001 }<\frac{20 \sqrt{10}}{2001} \)
(高中數學能力競賽　90高屏區競試(二))

2.給定空間中四面體OABC，其中三邊\( \overline{OA} \)，\( \overline{OB} \)，\( \overline{OC} \)兩兩垂直，若\( a△ABC \)，\( a△OAB \)，\( a△OBC \)，\( a△OAC \)分別代表\( △ABC \)，\( △OAB \)，\( △OBC \)，\( △OAC \)的面積，試證：\( (a△ABC)^2=(a△OAB)^2+(a△OBC)^2+(a△OAC)^2 \)

補上一題，新奧數教程　高二　第11講　四面體
已知四面体V-ABC中，棱VA、VB、VC两两垂直，三角形VBC、VCA、VAB和ABC的面积分别为\( S_1 \)、\( S_2 \)、\( S_3 \)、\( S \)。求证：\( S^2_1+S^2_2+S^2_3=S^2 \)。

提供另外一種方法
令\( A=(a,0,0) \)，\( B=(0,b,0) \)，\( C=(0,0,c) \)
\( \vec{AB}=(-a,b,0) \)，\( \vec{AC}=(-a,0,c) \)
\( (a△ABC)^2=\frac{1}{4}(|\ \vec{AB} |\ ^2 \cdot |\ \vec{AC} |\ ^2-(\vec{AB}\cdot \vec{AC})^2 ) \)
\( (a△ABC)^2=\frac{1}{4}((a^2+b^2)(a^2+c^2)-a^4)=\frac{1}{4}\cdot a^2 b^2+\frac{1}{4}\cdot b^2 c^2+\frac{1}{4}\cdot c^2 a^2 \)
\( (a△ABC)^2=(a△OAB)^2+(a△OBC)^2+(a△OAC)^2 \)

109.5.30補充
已知\(2^x+3^y+5^z=7\)，\(2^{x-1}+3^y+5^{z+1}=11\)；若\(t=2^{x+1}+3^y+5^{z+1}\)，試求\(t\)的範圍？
109高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-3338-1-1.html

請問計算第4題要怎麼做呢?

您好，想請教一下第5題 第7題 第8題如何作，謝謝 bugmens 老師

                                                                                           Jacobi

一、計算題，第 5 題

已知 \(x,y,z\) 均為實數，且 \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
   {{2^x} + {3^y} + {5^z} = 7}  \\
   {{2^{x - 1}} + {3^y} + {5^{z + 1}} = 11}  \\
\end{array}} \right.\)，

若 \(t = {2^{x + 1}} + {3^y} + {5^{z - 1}}\)，試求 \(t\) 的範圍.



解答：

令 \(\displaystyle a=2^x, b=3^y, c=5^z\)，則

\(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
   {a + b + c = 7}  \\
   {\displaystyle \frac{a}{2} + b + 5c = 11}  \\
\end{array}} \right.\) 且 \(\displaystyle a,b,c>0\)，


得此兩平面部分交線段的參數式 \(\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
   {a = 0 + 8k}  \\
   {b = 6 - 9k}  \\
   {c = 1 + k}  \\
\end{array}} \right.\)，


其中 \(\displaystyle a,b,c>0\Rightarrow 0<k<\frac{2}{3}\)


故，

\(\displaystyle t=2a+b+\frac{c}{5}=\frac{31+36k}{5}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{31}{5}<t<11.\)








第 8 題

設整數數多項式 \(A\left(x\right)\) 除以 \(x^2+1\)，餘式為 \(px+q\)，

若 \(f\left(A\left(x\right)\right)=pi+q\) 恆成立（其中 \(i\) 為虛數單位），

求 \(\displaystyle \frac{{f\left( {{x^{10}} + x + 1} \right)}}{{f\left( {{x^5} + x + 1} \right)}}\) 的值？


解答：

依題意，

因為 \(\displaystyle x^5+x+1\) 除以 \(\displaystyle x^2+1\) 的餘式為 \(2x+1\)，

所以 \(\displaystyle f(x^5+x+1)=2i+1.\)

因為 \(\displaystyle x^{10}+x+1\) 除以 \(\displaystyle x^2+1\) 的餘式為 \(x\)，

所以 \(\displaystyle f(x^{10}+x+1)=i.\)

故，

\(\displaystyle \frac{{f\left( {{x^{10}} + x + 1} \right)}}{{f\left( {{x^5} + x + 1} \right)}} = \frac{{i }}{2i+1} =\frac{2+i}{5}.\)

3.
平面上有一四邊形\(ABCD\)，其頂點分別為\(A(0,0),B(2,1),C(3,4),D(-1,7)\)，此平面上另\(P,Q\)兩點，使得\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2+\overline{PD}^2\)與\(\overline{QA}+\overline{QB}+\overline{QC}+\overline{QD}\)均有最小值，試求\(P,Q\)座標。

請教第三題
為什麼\(Q\)為\(\overline{AC}\)和\(\overline{BD}\)的交點?
謝謝

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=725&start=10
這位仁兄,問題除了這樣問以外
還可以利用網頁右上角的短消息!

恩~感謝!
你的意思是直接發短消息給原作嗎?

不一定要給原作
任何人(包括站主,板主)你都可以問
只要打上相對應的帳號即可

4.
設有\(n\)個正立方體，邊長分別為\(1,2,\ldots,n\)公分，現在將他們由下而上堆疊起來，可隨機以任意大小順序堆疊，但是若連續堆疊兩個立方體，在上面的立方體邊長超過位在下面立方體邊長2公分，則此堆疊方式將會傾倒(例如：若由下而上是②①③④則可安全堆疊，但①④②③則否)，問能安全堆疊的機率為何？

感謝 Pacers31 指正，下面是錯的...不小心誤會題意了，請往下找解答

解1：

若安全，1 的上方必為 2 或沒有。如果 2 在 1 上一層，那麼必是 3 在 2 上，或沒有東西在 2 上。

因此可類推至由上至下到 1 出現，必為連續正整數的型： \( k_{1},k_1-1,k_1-2,\ldots 1\)；

接著不看這 k_1 個，我們又會有相同之結論，即 1 的下方將是連續正整數 \( k_{1}+k_{2},k_{1}+k_{2}-1,\ldots,k_{1}+1 \)；

重覆推論得第一個大層 \( k_{1} \)個最小連續整，第一個大層 \( k_{2} \) 個剩於的最小連續整數…

第 j 層 \( k_{j} \) 個剩於最小的連續整數。其中 \( k_{1}+k_{2}+\ldots+k_{j}=n \), \( k_{j} \) 為正整數。(總共分 j 大層)

所以共有 \( \sum_{j=1}^{n}H_{n-j}^{j}=\sum_{j=1}^{n}C_{n-j}^{n-1}=2^{n-1} \) 種不會傾倒的情形。

所求機率為 \( \frac{2^{n-1}}{n!} \).

解2：
考慮以逐次插入的方式，依小到大的方式插入。
第一步，放一個 1。

第二步， 2 可選擇在 1 的上方或下方。

第三步，3 可放在 2 上方的位置，或最下。

而不能放在 1 上方的位置，因為往後愈來愈大，不可能在 3 和 1 中間放入可安全疊起的的方式。

第四步，同上， 4 僅能放在 3 上方的位置，或最下。

...

得安全的放法僅有 \( 2^{n-1} \)

因此所求機率為  \( \frac{2^{n-1}}{n!} \).

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-7-25 05:06 PM 編輯 ]