111武陵高中

武陵高中原本沒有提供題目答案，
後來有另外再補題目答案，
大概是有考生打電話去要求吧~~

3.
0~9共10個數字，任取\(n\)個數字排列(可重複)，請問包含偶數個9(含沒有9)的排列有　　　種。

有多少種\(n\)個數字\(d_n d_{n-1}\ldots d_1,d_i=0,1,\ldots,9,i=1,2,\ldots,n\)的排列，包含偶數個0的排列？(Ex.00030為5個數字的排列，有4個0)
(96中山大學雙週一題，http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2007f/2Q.pdf)
https://math.pro/db/thread-408-1-1.html
公式\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2}((9-1)^n+(9+1)^n)=\frac{1}{2}(8^n+10^n)\)

求0, 1, 2, 3所組成的n-序列含偶數個0的序列數。
(97中山大學雙週一題，http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2008f/3Q.pdf)
https://math.pro/db/thread-626-1-1.html
公式\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2}((3-1)^n+(3+1)^n)=\frac{1}{2}(2^n+4^n)\)

5.
\(\omega^{503}=1\)，\(\omega\ne 1\)，求\(\displaystyle \frac{\omega^2}{\omega-1}+\frac{\omega^4}{\omega^2-1}+\frac{\omega^6}{\omega^3-1}+\ldots+\frac{\omega^{1004}}{\omega^{502}-1}=\)　　　。
[提示]
公式\(\displaystyle \sum_{k=1}^{502}\frac{\omega^{2k}}{\omega^k-1}=\frac{1}{2}(502-2)=250\)

6.
有一個大正立方體由27個單位正立方體堆疊組成，今有一平面垂直平分大正立方體之內部對角線\(\overline{AG}\)，則該平面會與　　　個單位正立方體相交。
(1995AHSME，https://artofproblemsolving.com/ ... Problems/Problem_30)
中文題目下載，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2433

3.
0~9共10個數字，任取\(n\)個數字排列(可重複)，請問包含偶數個9(含沒有9)的排列有　　　種。
[解答]

5.
\(\omega^{503}=1\)，\(\omega\ne 1\)，求\(\displaystyle \frac{\omega^2}{\omega-1}+\frac{\omega^4}{\omega^2-1}+\frac{\omega^6}{\omega^3-1}+\ldots+\frac{\omega^{1004}}{\omega^{502}-1}=\)　　　。
[解答]

請問一下填充第2題

2.
\(a,b,c,x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2,x,y,z\)皆為實數，且\(\left(\Bigg\vert\;\matrix{a&b\cr x_1&y_1}\Bigg\vert\;,\Bigg\vert\;\matrix{b&c\cr y_1&z_1}\Bigg\vert\;,\Bigg\vert\;\matrix{c&a\cr z_1&x_1}\Bigg\vert\;\right)=(1,2,3)\)，\(\left(\Bigg\vert\;\matrix{a&b\cr x_2&y_2}\Bigg\vert\;,\Bigg\vert\;\matrix{b&c\cr y_2&z_2}\Bigg\vert\;,\Bigg\vert\;\matrix{c&a\cr z_2&x_2}\Bigg\vert\;\right)=(4,5,6)\)若\(x,y,z\)滿足\(ax+by+cz=0\)，求\(x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z\)之最小值　　　。
[解答]
向量(2,3,1)與向量(a,b,c)垂直
向量(5,6,4)與向量(a,b,c)垂直
解出a:b:c=2: (-1): (-1)
等價改成滿足2x-y-z=0,求(x-1)²+(y+2)²+(z-3)²-14的最小值
即{｜2+2-3 | /√(2²+1²+1²) }² -14=1/6-14 = - 83/6

請教1.4.9.10，謝謝各位老師

填充10.
已知正數\(a,b,c\)滿足\(5c-3a\le b\le 4c-a\)，\(c\ln b\ge a+c\ln c\)，求\(\displaystyle \frac{b}{a}\)的範圍：　　　(以區間記號表達)。
[解答]
101建國中學二招
https://math.pro/db/thread-1457-1-3.html

由第一式得\(3a+b\ge5c,a+b\le4c\)，第二式得\(c(\ln b-\ln c)\ge a\)
令\(x=\frac{a}{c},y=\frac{b}{c}\)，\(3x+y\ge5,x+y\le4\)，\(\ln y\ge x\)，\(y\ge e^x\)
所求即\((0,0),(x,y)\)的斜率範圍，令\(y=e^x\)上過原點的切線方程式為\(y-y_0=e^{x_0}(x-x_0)\)
代入\((0,0)\)解得\(y_0=e^{x_0}x_0\)，\(e^{x_0}=e^{x_0}x_0\)，\(x_0=1\)，故\(m=e\)
畫圖即可得所求為\(e\le\frac{b}{a}\le7\)

第 4 題
甲乙兩人比賽桌球，約定比賽進行到有一人比另一人多贏2局，或者打滿6局時比賽結束。設甲在每局中獲勝的機率均為\(\displaystyle \frac{3}{4}\)，且各局勝負互不影響。則比賽結束時，已賽局數\(X\)的期望值\(E(X)=\)　　　。
[解答]
有一人比另一人多贏 2 局，表示比賽結束時，只可能比了 2 或 4 或 6 局

(1) 比 2 局結束
機率 = (3/4)^2 + (1/4)^2 = 10/16

(2) 比 4 局結束
前 4 局贏的順序如下
甲乙甲甲
甲乙乙乙
乙甲甲甲
乙甲乙乙
機率 = (3/4)^3 * (1/4) * 2 + (1/4)^3 * (3/4) * 2 = 60/256

(3) 比 6 局結束
前 4 局贏的順序如下，這些情況都要比到六場
甲乙甲乙
甲乙乙甲
乙甲甲乙
乙甲乙甲
機率 = (3/4)^2 * (1/4)^2 * 4 = 36/256

所求 = (10/16) * 2 + (60/256) * 4 + (36/256) * 6 = 97/32

第 10 題
已知正數\(a,b,c\)滿足\(5c-3a\le b\le 4c-a\)，\(c\ln b\ge a+c\ln c\)，求\(\displaystyle \frac{b}{a}\)的範圍：　　　(以區間記號表達)。
[解答]
十年前寫過，......

9.
將方程式\(y^4-2xy^2+2x^2-4=0\)圖形所圍成的封閉區域繞\(x\)軸旋轉所得的旋轉體體積為　　　。
[解答]
中間圖形是用geogebra畫的
知道曲線誰在誰上方就可以畫出大概的圖了