99北市中正高中

這也是我挖出來的
6月10日考試,6月25日才公佈

填充題
4.已知\( \alpha、\beta \)是方程式\( x^2-(k+2)x+(k^2-3k+5)=0 \)的兩個實根，則\( \alpha^2+\beta^2 \)的最大值為？
解答可在桃園高中找到　https://math.pro/db/thread-980-1-1.html


8.方程組\( \displaystyle \cases{x^2+y^2+z^2=\frac{9}{4} \cr -8x+6y-24z=39} \)的解\( (x,y,z) \)為？
[提示]
\( (x^2+y^2+z^2)((-8)^2+6^2+(-24)^2) \ge (-8x+6y-24z)^2 \)等式成立


計算題
3.已知兩個同心圓，n邊形\( A_1,A_2,...,A_n \)為內圓的內接正n邊形，點P為外圓上任意一點，
求證：\( \overline{PA_1}^2+\overline{PA_2}^2+...+\overline{PA_n}^2 \)為定值

設\( A_1,A_2,...,A_n \)是一個正n邊形，其外接圓的半徑等於1，點P為其外接圓上的任一點。
求證：\( \overline{PA_1}^2+\overline{PA_2}^2+...+\overline{PA_n}^2 \)為一常數(即與P點在外接圓上的位置無關)
(高中數學競賽教程　P90，96中山大學雙週一題)
https://math.pro/db/thread-457-1-5.html

類似問題
設\( A_1,A_2,...,A_n \)是一個正n邊形，它的外接圓的中心為O，半徑為r，點P在\( \overline{OA_1} \)的延長線上。
求證：\( \overline{PA_1} \cdot \overline{PA_2} \cdot ... \cdot \overline{PA_n}=\overline{OP}^n-r^n \)。
(96基隆女中，高中數學競賽教程　P90)

這兩題都是用複數解題，請一併準備

請教第九,十二,十三,十五題,謝謝!!
又第六題為何送分?

9.  去討論兩隊在第幾輪遇到
ex  第一輪就遇到的賽程有8*7種
然後你還要乘上獲勝的機率
ex  要第二輪遇到  兩隊都得在第一輪獲勝  要在各乘上1/2

12. 兩個球心往平面投影  會是橢圓兩焦點
然後短軸半長會是6  在用畢氏定理算焦距

第六題
6.
若\(z+2i\)、\(z-2i\)的主幅角依次為\(50^{\circ}\)、\(320^{\circ}\)且\(|\;z+2i|\;=|\;z-2i|\;=1\)，則\(|\;z|\;=\)　　　(送分)
[解答]
\(\displaystyle z+2i=cos50^\circ+isin50^\circ \)

\(\displaystyle z-2i=cos320^\circ+isin320^\circ \)

兩式相減得到\( \displaystyle 4i=i(sin50^\circ-sin320^\circ) \)

這不可能

第十二題
在底面半徑為6的圓柱內，有兩個半徑也為6的球面，其球心距為13。今有一平面與這兩球面相切，且與圓柱面相交成一橢圓，則這個橢圓的長軸與短軸長之和為　　　
[解答]
這需要一點圓錐截痕的觀念
平面和兩球面的切點是橢圓的兩焦點(當然，說是球心在平面的投影也沒錯，只是這樣離證明就遠了)
長軸長是兩球面的外公切線段長，在此就是兩球心距=13
短軸長顯然是圓柱的直徑=12

第十三題
在\(\Delta ABC\)中，\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\)的對邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)。若\(\angle A\)，\(\angle B\)，\(\angle C\)的大小成等比數列，且\(b^2-a^2=ac\)，則\(\angle B\)的弧度為　　　
[解答]
關於  \( b^2-a^2=ac  \Rightarrow  b^2=a(a+c) \)  這個條件的充要條件為  \( \angle B=2\angle C \)  這要記住有這麼回事
於是\( \angle A=2\angle B=4\angle C \)
得到\( \displaystyle \angle B=\frac{2\pi}{7} \)


第十五題
設\(1<x<4\)且\(x\ne 2\)、\(x\ne 3\)，令\(\displaystyle y=\frac{2}{(x-1)(2-x)}+\frac{2}{(x-2)(3-x)}+\frac{2}{(x-3)(4-x)}\)，當\(y\)有最小整數值時，則其對應的\(x\)之值為　　　
[解答]
沒啥好想法，通分吧
\( \displaystyle y=\frac{2}{(x-1)(2-x)}+\frac{2}{(x-2)(3-x)}+\frac{2}{(x-3)(4-x)}
=\frac{-4}{(x-1)(x-3)}+\frac{2}{(x-3)(x-4)}
=\frac{-6}{(x-1)(x-4)} \)

於是有\( \displaystyle y(x^2-5x+4)+6=0 \)

令\( \displaystyle f(x)=y(x^2-5x+4)+6=y(x-\frac{5}{2})^2-\frac{9}{4} y+6 \)

可以發現\( f(1)=f(4)=6>0 \)
所以只要頂點y坐標\( \displaystyle -\frac{9}{4} y+6 \le 0 \)就好

\( \displaystyle y\ge \frac{8}{3} \)

當\( y=3 \)時，代入得到\( x=2 or 3 \)，這部分不合；
當\( y=4 \)時，代入得到\( x=\frac{5 \pm \sqrt{3} }{2} \)，皆合，故為答案。

另外，第八題沒說要實數解，是否也該送分??

關於這一題
我有一種想法
不知道能不能通用
八隊選兩隊出來打一場比賽是C(8,2).....這是分母
今日需要指定甲乙兩隊對打
在單敗淘汰的賽程表中
共有七個地方可供安插,故分子為7
於是機率就是1/4

這一題我覺得不是來解題的
是來讓我們看看到底題目怎麼包的,包的不只一個地方
除老王大講的這個以外
另有
1....|z+2i|=|z-2i|=1.....這包超大的,複平面上兩個圓x^2+(y-2)^2=1與x^2+(y+2)^2=1居然有交點?
2....只看|z+2i|=|z-2i|....這指的是實軸上的任意點從而z為實數,但z+2i+z-2i=cos50度+cos320度+i(sin50度+sin320度)
怎麼也無法除去i....與老王大的解釋有異曲同工之妙.....

關於計算第一題的教學解題
小弟我有想出三角函數法(高二)與微分法(高三)
如果出現在高一,那要用什麼方法解題?
請各位不吝指教
(PS.99課綱已把三角函數挪至高二上學期了.....)

計算第一題，

題目：有一題目如下：『有一半徑 \(20\) 公尺的半圓形釣蝦場，

想在上面蓋一 T 字型的木橋方便釣客垂釣(如圖 \(\overline{OM}\perp\overline{AB}\) )。

為使木橋總長 \(\overline{AB} +\overline{OM}\) 為最大，求此時 \(\overline{OM}\) 的長度是多少?』

試問：該題在高一，高二，高三出現時，請您使用不同的解法來教導學生，請詳細說明您的解法。

解答：

令 \(\overline{AM}=x\)，\(\overline{OM}=y\) 且 \(2x+y=k\)，

則此題目要求 \(k\) 的最大值，

由 \(\overline{OA}^2=\overline{AM}^2+\overline{OM}^2\)，可得 \(x^2+y^2=400\)

\(\Rightarrow x^2+\left(2x-k\right)^2=400\)

\(\Rightarrow 5x^2-4kx+\left(k^2-400\right)=0\).......（＊）

因為 \(x\) 為實數，

所以由（＊）之判別式\(\geq0\)，

可得 \(-20\sqrt{5}\leq k\leq20\sqrt{5}\)

所以 \(k\) 有上界 \(20\sqrt{5}\)，

且當 \(k=20\sqrt{5}\) 時，將其帶入 （＊）

可得 \(x=8\sqrt{5}, y=4\sqrt{5}\)

故當 \(\overline{OM}\) 長為 \(4\sqrt{5}\) 時，\(\overline{AB} +\overline{OM}\) 為最大。

我猜填6.題原意應是|z+2i|-|z-2i|=1吧？

另外今年台北市各高中教甄應該大都會公佈教甄考題吧
原因是因為今年某市立高中的地科教甄試題與某國立高中的教甄試題50題中有46題相同
導致後來教育局好像有要求各校公佈教甄試題
連從未公佈試題的建中也公佈了