109高雄市高中聯招

第3題也是考古題，只要把X=i帶入算實部就可以了

第4題是104全國聯招填充第3題

帶入x=i 的應該是第3題

另外這次的第6題
跟 107新北聯的第1題也是類似的
https://math.pro/db/thread-2971-2-1.html

想請教版上老師填充第九題，謝謝。

第9題，可視為二項分布 \( \displaystyle X \sim Bin \left( 12 , \frac{1}{4} \right) \)

\( \displaystyle E(X) = np = 3  ,  Var(X) = np(1-p) = \frac{9}{4}  ,  E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = \frac{45}{4} \)

所求：\( \displaystyle E(X^2 + 2X) =  \frac{45}{4} + 2 \times 3 = \frac{69}{4}  \)

仿照二項分配證明期望值=np的方法，獎金中k的部分可以消掉，再把k+2看成k-1+3做第二次

可惜我不熟練，考試時來不及把這題寫完

感謝以上兩位老師，受教了。

依題意 所求為
\(\displaystyle  \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{12-k} k(k+2)=\frac{1}{4^{12}}\left( \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k^2+ 2\sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k \right) \)

其中　
\( \displaystyle  \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k \)
我把它想成 「從12人挑k人不參加運動比賽，其他(12-k)個人從三個項目中選擇其中一種；另外再從不參加的k個人中，挑1人來擔任領隊」
　
所以將k=0~k=12 的情形連加起來後，就可以得到
「12人中先挑一人擔任領隊(不參加比賽)，其餘11人可以參加比賽(三選一)或不參加比賽。」
即是 \( \displaystyle 12\times 4^{11} \)
　
同理，\( \displaystyle  \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k^2 = 12\times 4^{11} + 12\times 11 \times 4^{10} \) (不參加的人要有人擔任領隊與經理，可同一人擔任)
　
所以所求為　\(\displaystyle \frac{1}{4^{12}}\left((12\times 4^{11} + 12\times 11 \times 4^{10})+2(12\times4^{11})\right)=\frac{4^{11}\left((12+3\times 11)+2\times(12)\right)}{4^{12}} =\frac{69}{4}\)

想請教第七題

第七題：我的做法是利用線性變換的特性來求面積
作法如下

謝謝～～我懂了！